有限元方法在桁架结构分析中应用

张晓东

（天津机电职业技术学院，天津 300000）

对于平面桁架结构的设计，早期采用传统方法计算桁架结构，是对给定的结构，将各个杆件分离开来，然后分别计算各个杆件的节点位移、杆单元轴力、以及杆单元应力、支座反力等，计算过程相对较为繁琐，计算量较大，容易出现误差。矩阵位移法的原理接近于后来的有限元方法，有限元方法利用桁架整体刚度矩阵求解节点位移和杆单元应力。有限元方法是目前桁架等结构分析的数值计算方法。

1 平面一层桁架有限元分析

一般情况下应用大域刚度矩阵方法或是其他方法研究桁架结构时只针对某种特定结构整合其整体刚度矩阵。然而在如今经济发展情况下，研究者面临的挑战不是仅仅研究某种现有结构，而是在众多结构中寻找最优结构。那么对于桁架结构的多变性，如何在较短时间内得到不同结构的整体刚度矩阵或是其变形，应力情况，是众多研究者的热衷课题。

首先，分别得到各杆单元的大域变换矩阵

对于弦杆1，2大域变换矩阵为

同理分别计算其它各杆单元的大域变换矩阵；

然后，分别得到各杆单元的单元刚度矩阵；

弦杆12和弦杆34分别为水平杆其单元刚度矩阵分别为：

其它各杆单元均为腹杆，其单元刚度矩阵分别为：

最后桁架结构的整体刚度矩阵：

由于该桁架结构长度相同，截面积相同，材料相同，则设各杆单元长度，截面积分别为L，A，那么可整理上整体刚度矩阵为：

其中，

由于对于节点桁架，可能具有的拓扑结构不止一种，本文给出桁架结构整体刚度矩阵的求解公式：

本文结合有限元方法分析平面一层桁架结构的步骤为：

得到整体描述矩阵通式T=ΣxΣ；步骤二：得到各单元的单元大域变换矩阵；得到各单元的单元刚度矩阵；得到整体描述矩阵通式；引入分析桁架边界条件求解节点位移和杆单元应力关于拓扑描述变量的表达式。

2 平面多层桁架有限元分析

综合目前桁架研究领域，平面多层桁架在文献中鲜有提到，研究者们多数将多层桁架简化为一定数量的一层桁架加以研究，但是在实际应用中多层桁架的应用较为广泛，其工程环境不尽相同，这样在将多层桁架简单转化为单层桁架进行研究过程中忽略了各层桁架之间的相互关系，可能会造成与实际工况不符合的情况，进而使得研究结果偏离实际造成不必要的损失，因此找到一种适合于多层桁架的整体研究方法是非常有必要的。

平面多层桁架体系中各个杆单元的单元刚度矩阵与大域变换矩阵均符合平面杆系单元的定义，不同之处在于各个杆单元在整体坐标系下处于不同的位置，由于杆件数目以及位置的不同形成不同的整体刚度矩阵，使得多层桁架结构的性能各不相同。其单元大域变换矩阵的求解规则与一般平面桁架的求解方法相同，公式（2）所表达的结合桁架描述矩阵合成整体刚度矩阵的方法同样适用于平面多层桁架整体刚度矩阵的合成。

多层桁架分析步骤为：

根据第二章所述的多层桁架结构的描述方法得到其整体描述矩阵；根据平面杆单元大域变换矩阵求解公式的到多层桁架中所有可能形成的杆单元的大域变换矩阵；根据平面杆单元刚度矩阵求解公式的到多层桁架中所有可能形成的杆单元的单元刚度矩阵；结合整体描述矩阵，单元刚度矩阵以及单元大域变换矩阵，根据公式（2）得到多层桁架得整体刚度矩阵。

步骤五：引入分析桁架边界条件求解节点位移和杆单元应力关于拓扑描述变量的表达式。

3 结语

本文结合大域变换矩阵求解整体刚度矩阵方法，将桁架拓扑连接描述量代入到整体刚度矩阵通式中，实现了桁架拓扑变量的参数化目的，为以后分析平面一层多节点桁架，求解平面多层多节点桁架，以及空间多节点桁架提供新的参考，整体刚度矩阵能够反映节点力与位移的关系，在目前有限元方法普遍应用于桁架结构分析的情况下，能够得到桁架整体刚度矩阵通式对研究桁架结构的变化具有很大的意义。

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