L型薄导体电阻的估算方法

韩金池，邹 军

(清华大学电机工程与应用电子技术系，北京 100084)

0 引言

对于形状不规则导体电阻的求解通常有两类方法:一类是通过实验方法测量，即对导体两端加电压测量流过导体的电流，或对导体通入恒定电流测量导体两端的电压，电压和电流之比即为导体的电阻;另一类方法是利用电场计算，通过给定导体中电流场的方程和边界条件，求解偏微分方程得到导体两端电位差求得导体电阻。但以上两类方法都存在一定的局限:实验方法受到条件的限制，有时对于一些体积较大的导体电阻也不便于用实验的方法进行测量;很多不规则导体的电阻难以利用电场计算的方法得到解析解，而数值解法需要使用特定的软件。有时无法使用上述两类方法，而又需要对形状不规则导体电阻进行估算。对于这种需求，本文讨论了一种不规则形状(L型)薄导体片电阻的简化估算方法，并对该方法的合理性及误差进行分析。

通常对于不规则导体电阻估算使用图解法，将它划分成若干长方体电阻进行估算，这样的估算方法是基于在所划分的长方体区域内电流场分布均匀的假设，但显然该假设在划分不足够细的情况下未必成立，特别是在贴近转角处由于电流线靠近导体边界，在这样的区域内长方形电阻等效的方法误差会较大。因此，本文提出一种对转角处电阻做圆弧电阻等效，对距离转角较远处做长方体电阻等效的方法，对L型薄导体片电阻进行估算。

该估算方法的优点是:①对转角处用圆弧等效使得估算模型的电流线分布与导体实际情况更加接近，从而减小误差;②通过对求解区域一定的细化进一步提高求解精度，且细化方式对于L型薄导体有普适性。

1 L型导体片电阻的估算

1.1 圆弧导体片电阻

厚度为h(通常很小)，圆心角为θ，电导率为γ，内外径分别为r1和r2的圆弧导体片，如图1所示。

图1 圆弧电阻示意图

采用圆柱坐标系，由于h较薄，可以认为圆弧导体片中电位φ的分布与厚度方向坐标z无关。圆弧导体片内电流线沿圆弧方向均匀分布，则电位φ与坐标r也无关，只与弧角α有关。圆弧导体片内电位方程为

其通解为φ=Aα+B。设定边界条件φ|α=0=0，φ|α=θ=U0，可确定 A=U0/θ，B=0，得到电位为

解得圆弧导体片电阻为

1.2 梯形导体片电阻

对于如图2所示的梯形导体，通过对梯形两腰所形成的角∠AOD进行等分，将导体划分成m个小分块，对于任意小分块梯形k都可以用圆弧近似，对应的圆弧内外径分别取为r1k=(OAk+ODk)/2，r2k=(OBk+OCk)/2。

那么小分块梯形k等效成圆弧的电阻为

整个梯形导体的电阻可以认为是m个小梯形电阻串联，即

图2 梯形导体划分图

这里对梯形导体做圆弧等效这样的处理是有条件的，即对于每一个划分出的小梯形，AkDk和BkCk为等位线。且对于整个梯形导体也需满足AB和BC为等位线的条件，这样的近似才会比较精确。

1.3 宽度相同的L型薄导体片电阻

(1)导体片的划分

对于如图3所示的L型导体，其宽度为L，外转角两侧长度为2L。为便于估算其电阻，在距离内转角0.5L 处作直线划分，使其分为 A，B，C1，C2四部份。我们先对这样的L型导体的电阻进行研究。

3 宽度相同的L型导体

由于电流线在距离内转角超过对应一半宽度的位置处的分布可以近似认为均匀，所以划分出来的A，B两部分导体可利用通常的长方体电阻公式计算，剩余转角部分C1和C2可以利用圆弧进行等效，转角的等效圆弧电阻可以利用公式(8)求解

式中，RC为C1，C2梯形电阻之和。

由此，我们可得到如图所示的L型导体的总电阻为

对于需要切割的导体，由于切割出的两端距离转角较远，可以近似认为电流线在这两部分分布均匀，电阻可以直接利用长方体电阻公式进行求解;对于需要增补的导体，当距离内转角一端的长度小于L/2时，可以先补成L/2，在进行圆弧等效时计算出实际导体长度对应的圆心角，再利用上面的方法进行求解。

(2)误差分析

上述估算方法的误差来自以下几方面:①处理时到内转角距离超过一半宽度的位置处，认为电流线分布均匀，实际上整个导体内电流总是不均匀的。只是在取定位置处电流线分布不均匀程度很小，这样的等效造成误差不大;②对转角近似时将梯形等效成圆弧，形状的近似会有误差，更重要的是圆弧导体电阻推导是假定径向边界为等位线条件下得到的，实际上等位线需垂直与转角边界，如图4所示;③作圆弧导体近似假定导体内电流线沿圆弧方向，而实际上电流线在靠近转角边界时贴近边界分布，如图5所示，由此也带来一定误差。

图4 实际等位线

图5 实际电流线

(3)估算方法的改进

从误差分析中可以发现，上述估算方法的误差主要是由于贴近边界时电流线及等位线的分布不符合圆弧等效的条件，所以这里不妨将贴近两边界的部分分离出来单独考虑，形成三个紧靠的L型导体，如图6所示。

分离出的两个部分仍然可以通过截成三个区域，其中转角区域仍以利用上面得到的公式求解，其余两区域直接利用长方体电阻公式。中间的部分由于已削弱靠近边界的影响，在转角区域直接用圆弧等效更加准确。推导出各区域电阻及总电阻计算公式如下:

图6 区域一阶细化示意图

式中，R0，R1，R2分别表示区域(A0，B0，C01和 C02)，区域(A1，B1，C11和 C12)和区域(A2，B2，C21和 C22)的电阻。

如果考虑从电流线贴近边界到中间部分沿圆弧分布中间的过渡，可以对区域做二阶的划分，将靠近边界的部分分离出来。推导出计算如下公式，其中R1与R2同式(12)和式(13)。

图7 区域二阶细化示意图

式中，R3为区域(A3，B3，C31和 C32)电阻。可得到总电阻为

2 宽度不相等L型薄导体

2.1 估算方法的推广

对于宽度不相等的L型导体，也可通过截断或增补得到如图8所示形状的导体。利用对宽度相等的导体估算的思想，通过对转角处做圆弧等效，对宽度不相等导体转角需分成三个区域(C0、C1和C2)进行估算。由于在宽度较窄的一端电流线分布很密，所以考虑到电流线由密到疏的过程及等位线分布，转角窄导体部分、宽导体部分以及过渡部分分别用三种圆心和内外径的圆弧进行等效，如图8所示。

图8 宽度不相等L型导体

由如图的几何关系可以得到电阻计算公式:

2.2 估算方法的改进

上述推广方法对宽度不同导体进行电阻估算误差原因与1.3(2)中分析类似，可以参照1.3(3)的方法对推广的估算做以改进。

进行一阶划分，将贴近两边界的部分分离出来，如图9所示。

图9 区域一阶细化示意图

由图得到求解公式为

进一步划分来削弱从电流线贴近边界到沿圆弧过渡区域对求解精度的影响，得到如图10所示的示意图。

图10 区域二阶细化示意图

各区域电阻及总电阻中，R1、R2计算见式(23)和式(24)，R3、R4和总电阻可计算如下:

3 电阻估算精度比较

3.1 宽度相同导体的电阻估算

设有L=0.5m，γ =8 ×106S/m2，h=5mm 的宽度相同的L型导体，利用Matlab中PDEtool工具箱得到导体中电流线和等位线分布如图11所示。

求得的导体电阻精确值为R=64.16μΩ。利用传统长方体等效估算方法，本文提出的估算方法以及两种改进估算方法得到的电阻与相对误差比较如表1所示。

图11 宽度相同L型导体PDEtool仿真

表1 宽度相同导体不同划分估算结果

对于给定尺寸L型电阻，传统估算法的误差很大，而本文提出的最简单估算方法的相对误差在5%左右，随着划分的细化，估算精度逐渐提高，二阶划分后相对误差已经降到0.5%以下，估算求解已十分精确。

3.2 宽度不同导体的电阻估算

设有 L1=0.5m，L2=1.0m，γ =8 ×106S/m2，h=5mm的宽度不相等导体，PDEtool仿真给出的电流线和等位线的分布如图12所示。解得导体电阻精确值为R=64.16μΩ。采用传统长方形等效法的估算值与划分方式有关(划分AC与B两区域对应法1，划分A与BC两区域对应法2)。利用传统法，推广估算方法以及两种改进估算方法得到的电阻与相对误差比较如表2所示。

图12 宽度不相同L型导体PDEtool仿真

表2 宽度不同导体不同划分估算结果

对于给定尺寸L型电阻，最简单估算方法相对误差在4.5%左右，随着划分细化，估算精度逐渐提高，二阶划分后相对误差已降到0.015%左右，该估算求解十分精确。

4 结语

本文讨论了L型导体电阻的估算方法，提出两种改进的估算方法并对估算方法进行了误差分析，且对不同估算方法的精度进行了比较。

应当指出，在需要精确求解L型导体电阻的场合，直接测量及仿真仍是最常用的测量方法，而本文给出了在无法应用上述方法时对L型导体电阻的一种较准确且简便的估算方法。

我们在选择估算方法时应考虑按求解精度的需求选择合适的估算方法，改进方法随着区域划分加密，求解精度逐步提高，但是工作量也大大增加。所以应当结合实际需求，选择符合精度要求且最为简便的估算方法。

［1］ 马信山，张济世，王平编著，《电磁场基础》，清华大学出版社，1995.5:北京