高等数学中的数学建模思想浅谈

刘志宏 周锦程

（黔南民族师范学院数学系 贵州 都匀 558000）

0 引言

随着社会的飞速发展，教育也得到了空前的发展，提高人才培养质量和学科专业教学探讨与实践是当前国内外各类不同层次的高等院校教育都在关注的热点问题，数学教育是培养应用型人才，提高国民素质的重要载体。数学教育在培养高素质人才中具有其独特的，不可替代的作用，数学课程的教学模式应成为应用型人才培养模式中重要组成部分。数学建模是用数学的工具，是沟通数学理论与实际问题的中介和桥梁。我国的教育的发展决定着对人才培养的多元化，社会的发展需要培养更多的应用型人才，应用型人才的培养就需要培养他们有深厚的数学素养。高等数学教育更应该注重培养学生应用数学知识解决实际问题的意识和能力。高等数学教学要注重掌握核心数学思想，培养数学的理解和应用能力，强调知识的应用的现代教育理念。把数学建模的思想与方法融入到高等数学基础理论课已形成共识，收到数学界的广泛重视，特别是数学建模的教学和竞赛取得了良好的效果，积极地推动了学生的创新能力。数学建模的教学过程其实就是个把数学建模的思想融入到高等数学课堂教学的具体实施过程。

1 数学和数学建模的重要性

长期以来，在人们认识世界和改造世界的过程中，对数学的重要性及其作用逐渐形成了自己的认识和看法，而且这种认识和看法随着时代的进步也在不断发展。概括起来，大概有以下几点：

1）数学是一种国际通用的科学语言；

2）数学是生活、学习、科研的一个有力的工具；

3）数学是各门科学的基础；

4）数学是一门技术；

5）数学是一种文化。

数学建模作为数学知识与实际问题的桥梁，它的重要性就不言而喻了，数学本身就是一门抽象的学科，学习数学知识的目的就是为了更好的解决实际问题，数学建模就是应用数学知识解决实际问题的工具。数学知识固然很重要，如果空有抽象的知识，却没有掌握好数学建模的思想和方法，空有深厚的数学知识也难有所作为，更不算是新世纪的优秀人才。

2 为什么要把数学建模的思想和方法融入高等数学课堂教学

数学建模是联系数学与实际问题的桥梁，是数学转化为科学技术转化的主要途径，数学建模在科学技术发展中的重要作用越来越受到数学界和工程界重视。应用数学建模的思想解决实际问题通常有三个要点:合理假设、数学模型和解释验证。数学模型是数学知识的载体，即通过把理论的抽象知识结构化，形象化，实用化而形成的数学模型，有利于学习者对知识的理解，从而实现理论知识的系统化。数学建模思想是数学建模的灵魂，是贯穿理论知识的主线，在高等数学的一些概念，性质，定理，公理和推论的教学中渗透数学建模的是思想，就能够分清各知识的脉络，以及他们的联系。数学建模思想可以将知识向广度和深度延伸，高等数学中有很多具体问题和定理还值得深入挖掘其中的知识点，与其他学科相结合方面的问题也有待进一步探讨。数学建模思想是围绕一个现实需要解决的问题展开，有利于知识的针对性，激发学生学习抽象知识的兴趣。所以，把数学建模的思想融入到高等数学课堂教学中是非常有必要的。

数学建模就是用数学语言描述实际现象的过程，它是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和思维方式，通过抽象、简化建立能近似刻画并“解决”实际问题的一种强有力的数学手段。应用数学去解决各类实际问题时，首先要建立数学模型，这是十分关键的一步，同时也是十分困难的一步。建立教学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程。要通过调查、收集数据资料，观察和研究实际对象的固有特征和内在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题。这就需要深厚扎实的数学基础，敏锐的洞察力和想象力，对实际问题的浓厚兴趣和广博的知识面。这些其实就是数学建模的思想。

当前的国际形势下，国际竞争其实就是科学技术的竞争，只有拥有了强大的科技力量，才能保证在激烈的国际竞争中立于不败之地。先进的科学技术，掌握在优秀的人才手里，优秀的人才必须要有很高的数学素养，能够用数学知识去解决所遇到的实际问题。这里的数学素养就是数学建模的思想。所以，优秀人才的培养必须得注重数学建模思想的教学。数学的教学大致可以分为基础数学教学、初等数学教学和高等数学教学，在基础数学和初等数学教学阶段，由于学生的理解能力和所接触的实际问题有限，数学建模的思想对于提高学生学习数学的兴趣具有一定的局限性，所以，在高等数学课堂教学中，学生心智较为成熟，所接触的新鲜的事物较多，把数学建模的思想融入到数学课堂教学中，教给学生运用数学的知识去解决所遇到的实际问题，很容易就提高了学生学习数学的兴趣。常言道：兴趣是入门的老师。当学生拥有了学习数学的兴趣，便很容易的在课堂教学的过程中慢慢的掌握数学建模的方法以及数学建模的思想。

综上所述：把数学建模的思想和方法融入到高等数学的课堂教学是当今高等数学教学的主流，是培养优秀人才的必经之路，是提高国际竞争力的强有力的方法。在当今形势下，把数学建模的思想融入到高等数学的课堂教学中已经是培养21世纪人才的新思路。

3 怎样在高等数学教学中融入数学建模的思想和方法

3.1 明确数学课程的目标与定位

数学不应仅停留在数学知识的传授，还应加强学生用数学解决实际问题的能力的培养。数学教学既要为后继课程提供语言表达，逻辑推理，科学计算等基本要求，更要注重思维方式和思辨能力，以及学生利用逻辑关系研究和领会抽象事物、认识和利用数形关系的能力的培养。通过数学课程的学习，是学生具有：科学的思维方式和思维习惯；从数据的定性和定量分析中寻求与发现数学规律的能力，从分析实际对象，建立数学模型到进行计算机数据处理的研究习惯；从实际出发不断学习数学自学用数学解决实际问题的意识与能力。

3.2 优化教学内容，增加现代数学知识

长期以来，我们的课程设置和教学内容都具有强烈的理科特点：重基础理论、轻实践应用；重传统的经典数学内容、轻离散的数学计算。然而，数学建模所用到的主要的数学方法和数学知识恰好正是被我们长期所忽略的那些内容。因此，我们调整课程体系和教学内容，增加一些应用型、实践类教学内容：如“数学实验”、“数学软件介绍及应用”、“计算方法”等。在传统的教学过程中，注重数学理论与应用相结合，增加实际应用方面的内容和案例。从而使教学内容更贴近生活贴近现代科技发展。

对具体教学内容的安排上注重学以致用，既考虑对学生思维能力培养方面的作用，又考虑培养学生运用数学知识分析、解决实际问题能力的培养。把数学建模的思想融入到数学教学课程中去，增加数学在其他领域应用的实例。在教学中，根据专业的不同，选出本专业典型数学概念的应用案例，然后按照数学建模过程规律修改加工之后作为课上的引例或者数学知识的实际应用例题。这样使学生既能亲切的感受到数学在专业中的广泛应用，也能培养学生用数学解决问题的能力。

通过对教学内容的优化，使数学教学在培养学生素质和能力方面具有：通过分析、计算、逻辑推理求解数学问题的能力；用数学语言和方法去抽象概括客观事物的内在规律构造出解决问题的数学模型的能力。

3.3 注重数学思想的渗透，加强数学方法的介绍

大量的实践表明：人们一旦掌握了数学思想方法，在今后的生活和生产实践中将会终身受益。在介绍数学概念、原理、公式时，注重数学思想的渗透及教学方法的介绍。这样在传授数学知识的同时，使学生学会数学的思想方法，领会数学的精神实质，在通过实例介绍数学家是如何处理实际问题，将新问题转化为以前解决过的问题后引出定义时，突出转化的思想，知道数学的来龙去脉，在数学文化的熏陶中茁壮成长。

3.4 改革教学方法和教学手段，激发学生的学习积极性

我认为要让学生从知识的被动接受者转变为主动参与者和积极探索者，在发挥教师主导作用的同时，充分发挥学生的主体作用，要为学生的积极参与创造条件，引导学生去思考、探索。去发现，要鼓励学生大胆的提出问题，改变过去教师讲学生听的教学方法。在数学教学中贯彻“问题解决”的思想以问题为教学起点，把要传授给学生的知识、结论、方法通过创设问题情境，提出具有一定趣味性、启发性和挑战性的问题，使学生通过观察、分析、综合、类比、猜想、尝试和发现的探索过程，学会提出问题、分析问题和解决问题，通过问题的不断提出和不断解决，使学生掌握所学的知识，理解所学的知识与其他相关知识的内在联系，最终实现学生既学到知识又培养了学生应用的意识和能力的教学目的。

在教学中把传统的黑板、粉笔加教案的教学方法与多媒体的教学结合使用，将传统的数学教学中不能直观表示的抽象概念、定理通过图表、图画、动画等生动地表示出来，从而加深学生的印象，使学生易于理解和掌握，既激发学生学习的积极性，又解决了课堂信息量不大的问题，形成数学教学的良性循环。学习数学软件的使用，可以使学生边学边用，着重培养学生的动手能力和利用数学理论解决实际问题的能力，把所学的知识直接用于解决实际问题。这样的教学方法对于培养学生的综合能力具有积极的推动作用。

大量的实践表明：在高等数学的课程教学中融入数学建模的思想和方法，注重培养学生解决实际问题的能力，是教学教育改革的方向。“学数学”是为了“用数学”，教师应努力创造机会，把数学建模的思想和方法渗透到高等数学的教学环节中去，提高学生的数学应用意识和创新能力。

4 具体实施方法及实例

4.1 将抽象思维形象化

高等数学的中心内容不是直接为建立数学模型服务的，然而，数学模型的形象思维可以使相应的知识具有应用价值，增强对知识的理解和记忆。在高等数学，尤其是线性代数部分，几何的形象性被广泛应用，从几何的角度去理解抽象的高等数学的概念、定理、性质等。从而取得比较好的教学结果。下面用行列式与几何知识的联系来解释高等数学中抽象思维的形象化。如对于任意一个三阶行列式：

我们看一下三维立体空间，以（a1，b1，c1），（a2，b2，c2），（a3，b3，c3）为坐标的三个向量，那么以这三个向量为棱的平行六面体的体积为：

因此可以看出，实数域上的三阶矩阵行列式其实就是以 a,b,c这三个向量为棱的平行六面体的体积，对于抽象的行列式的问题，这里结合几何知识，就把三阶行列式的问题转化为了形象的求六面体的体积的问题。对于一个问题，从不同的角度去理解就会有不同的解释，这正体现了数学建模的本质。这样做不仅拓宽了知识面，也加深了对知识的理解，避免了对知识的僵硬的认识。帮助了学生从多方面的去认识所遇到的问题。

4.2 将理论知识实用化

高等数学的内容都是抽象的理论，繁琐的计算往往难以让人体会到高等数学的现实意义，也就很难激发学生学习的兴趣，考虑到这些因素，在高等数学的教学过程中尽可能的研究一些典型的应用实例比如行列式概念的引入，我们可以借助于一个著名的数学模型来提出，这样可以使得难以理解的抽象知识被学生接受。

货物交换的经济模型：在一个原始部落，根据分工，人们分别从事3种劳动：农田耕种（简单的记为F）、农具与生产工具的生产（简单的记为M）、织物的编织（简单的记为C），人们之间的贸易是实物交易。农夫把每年收获的一般留给自己并拿出1/4给工匠和织布者；工匠们平均分配他们制作的工具给每个组；织布者留下1/4衣物给自己，并拿出1/4给工匠、1/2给农夫。因此，三组人之间的交易情况可以表示为表1。

表1 三种人物之间交易情况表

随着社会的发展，实物交易形式变得十分的不方便，于是部落决定用货币进行交易。假设没有资本和负债，那么如何给每类产品定价，使其公正地体现旧有的实物交易系统呢？

令x1为农作物的价值，x2为农具和工具的价值，那么由上表的第一行，农夫们生产的价值应该等于他们交换到的产品（包括留给自己的）的价值，即有：x1=（1/2）x1+（1/3）x2+（1/2）x3；同理可得：工匠的生产与交换价值方程为织布者的生产与交换价值的方程为整理得方程组：

因此，解决该问题可以归结为一个三元一次方程组的求解问题。用这个问题引出行列式，可以使学生了解行列式与线性方程组的密切联系。从现实的、易于理解的部落中的抽象问题入手，让学生先了解问题的数学应用背景，提起学生学习的兴趣，这样就大大的提高学生学习的积极性。

4.3 将难以解答的实际问题转化为相应的数学模型，再求解

向量空间是学习高等数学遇到的第一个代数结构，向量空理论充分展现了高等数学“公理化方法和结构化方法”的课程点，应把向量空间的教学置于整个课程教学的重要地位。下面尝试突出数学建模思想方法来探讨向量空间的教学。向量空间是学习高等数学遇到的第一个代数结构，向量空间理论充分展现了高等数学“公理化方法和结构化方法”的课程特点，应把向量空间的教学置于整个课程教学的重要地位。下面尝试以突出数学建模思想方法来探讨向量空间的教学。

向量空间理论在信息编码中的应用：

①问题的提出：用向量空间的理论，对通信系统中要发送信息建立编码规则。在信息传输过程中，经常受到很多因素的干扰，信息接受方可能收到出错的信息，希望给出一种办法，使得收方有能力检查是否有错，并且对错误的信息能进行修正(考虑只能纠错一位的情形)。

②文体分析与模型建立通信系统的最简单模型可表示成。

图1 通讯系统模型

通常的数字通信问题，对发送的信息可用数字0，1所表示的字符串来表示，因而对于数字0，1构成的序列，考虑建立合适的代数系统讨论。下面考虑在代数系统——二元域Z2上建立上述问题的数学模型。

模型一：用二元域 Z2上的 15元向量（a1，a2，…，a15）来表示信息，以H作为系数作Z2上的齐次线性方程组：HX=0

其中 H=[0000…111 0001…111 0110…011 1010…101]T，实际上H是由十进制数1，2，……，15转换成四位的二进制数后，依次作为它的列而得到的，对应信息编码理论，称方程组（1）的解集合是码集合，其中每一个码向量称为一个码字。

编码规则：发送和收到的信息编码只是一个码字，且这样的编码具有纠出一个错误的能力。

模型分析：（检错与纠错）设发送信息为x，即x满足HxT=0，若x在传输中受到干扰，有一位码元发生了改变，假设收到的信息y错在第 i位，则 y=x+ei，其中 ei=（0，…，0，1，0，…，0），1 为第 i个分量，由HyT＝Hxt+=H的第i列，这说明若收到的信息y是H的第i列，表明y错在第i位，若HyT=0，表明收到的信息y是正确的。

进一步讨论：把H的第j列换成第i列，记为H1，得到方程组H1X=0，设 x 为 H1X=0 的解，y错在第 j位，即 y=x+ej，H1y=H1ej=H1的第 j列=H1的第i列，这时不能由H1来判定y是错在第i列还是第j列，而H的任何两列都不相同，这就说明HX=0的系数矩阵H没有两列相同，则这种编码方法能纠出一个错误。

纠错方法：设发送的信息为x，则收到的信息为y=x+e，计算a=HyT，若a=0，即y=x为所发送的信息，若a≠0，则a必是H的某列（设为第i列），取 e=ei，因此 x=y-ei，即得到所发的信息 x。

模型二：为提高传送的可靠性，对发送的信息x用二元域Z2上的n元向量表示的基础上，再增加分量（校验位）。为讨论方便，取n=4，设x=（a1，a2，a3，a4），令 c1＝a1＋a2＋a3，c2＝a1＋a2＋a4，c3＝a1＋a3＋a4，即可建立Z2上的向量空间到的映射 σ：→；（a1，a2，a3，a4）（a1，a2，a3，a4，c1，c2，c3），称 σ 为编码规则，Im σ 称为码集合，码集合中的向量称为码字，Z72中的向量称为字，因此可得：x=（a1，a2，a3，a4，c1，c2，c3）∈Im σ， 即 x 为码字， 当且仅当：当且仅当xT属于其次线性方程组HX=0的解空间W，其中为校验矩阵。

为提高信息传输的可靠性，对信道的要求须满足：出错少的可能性要大，即要求模型中y与x对应的分量的不同的个数要少，这就等价于y-x的非零分量的个数少，也就是说e的重量（非零分量的个数）小的可能性大。

对于上述模型，它是在二元域的概念的基础上建立的，对于域的概念，学生大多都能接受，数域上的行列式理论、多项式理论、线性方程组理论、矩阵运算及理论、线性空间和线性变化理论在域的概念上都成立，把域的概念掌握好。

5 在高等数学教学中融入数学建模思想的思考和建议

从近几年的数学建模教学实践来看，数学建模思想已经把各学科的知识紧密的联系起来。在高等数学教学中，模型教学案例的选择应遵循两个原则，一是，“少而精”，数学建模思想的侧重点应该是方法的训练，而不是只是得灌输，应选择简单、直观又能反映课本知识内容且在知识的应用上有深度、有特色的典型例子。二是，“贴近原则”，数学建模中的案例应该与高等数学内容有紧密联系，它应尽可能地贴近实际问题，尽管在高等数学中融入数学建模思想有很多作用，但也有以模型作为知识切入点不易把握的局限性，因此，在教学过程中也不应过分追求模型的介入来处理教材的内容，反之会有喧宾夺主的嫌疑。如果在教学中引用过于复杂的模型例子来分析课本内容知识，就会导致问题复杂化，课时安排也不允许，收不到好的教学效果。

因此，要把两者较好的结合起来，本人建议：

1）平时注意建立问题题库。

2）不断创新，改进教学模式。高等数学中的基本概念如多项式、矩阵行列式、线性变换、行列式等都不是孤立存在的，而是有机地联系在一起的。涉及到其中某个章节的概念，通常可以利用它们的互相关系转化为另一概念来表述的形式并加以理解。例如，行列式与线性方程组的联系。

3）引导学生收集高等数学和数学建模方面的资料。

4）渗透数学建模工具软件的应用。例如在讲到行列式和矩阵的运算时可以使用MATLAB等数学工具软件演示求解过程，使学生有针对性的感受知识的即时应用，学会用数学的思想和方法思考和解决问题。领悟数学的应用价值。

随着大学数学的改革的推进，数学建模思想逐渐渗透到各个学科，特别是使大学数学的主干课程练习更加紧密。研究实践表明，在高等数学中融入数学建模的思想有利于高等数学知识结构的整合，对教师的教学理念和学生的学习方式的转变都起到至关重要的作用，对提高教学质量以及学生的数学素质方面都起到重要的作用。

［1］王汝发.高校本科教育:存在问题与救治之方[J].当代教育论坛,2008(2):34-36.

［2］刘晓力.数学:看不见的文化[N].科技日报,2000-4-17.

［3］丘维声.高等数学[M].2版.北京:高等教育出版社,2003.

［4］郝志峰,谢国瑞,方文浚.线性代数:修订版[M].北京:高等教育出版社,2008.

［5］林亚南.突出数学思想观点下的教学方法:以线性空间的同构为例[C]//大学数学课程报告论坛论文集.北京:高等教育出版社,2009:48-53.