反例在教学中的探索

谢月花

（苏州市相城区陆幕实验小学 江苏 苏州 215131）

1 反例的教学功能

1.1 有利于加深概念理解

反例能够有效帮助学生加深概念的理解，包括定理、法则、公式，而定理、法则、公式的掌握有利于帮助学生解决一些简单的问题。但是，现实教学中，我发现学生在使用它们时，经常会漏掉某条件，忽略某关键字。为了防患于未然，教师需要加强定理、法则、公式的产生过程的教学，增加学生自主探索定理、法则、公式的机会，针对定理、法则、公式中的一些条件、关键字进行必要反例教学，从而帮助学生牢固掌握概念，达到“去伪存真”的效果。

例：在三角形全等判定方法的教学中，对于判定方法 “如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等”，个别学生会提出这样的问题：“条件中的夹角能否换成一边的对角？”针对学生的疑问，同时也为了告诫学生条件中的“夹”不能忽视，教师经常构造以下反例：先作一个等腰△ACD,再延长底边DC到B，连接AB(如图1)，则在△ABC与△DBC中，AB=AB，AC=AD,∠ABC＝∠ABD，但△ABC 与△DBC 并不全等。

图1 -1

1.2 有利于澄清错误认识

在学习之中常常由于思维定式的影响，会想当然得出一些经不起推敲的结论。时适时的举出反例，就会使得对题目印象深刻，深入领悟本质。

例：在学习“反函数图像对称”时，许多同学会认为：互为反函数的两个函数图像相交的交点一定在直线y=x上，我们可以举出一个反例的交点之一（1，2）就不在y=x上。

1.3 反例是否定命题的重要方法

要否定一个命题，可用归谬法或证明法，但是简明而又有说服力的，则是举出其反例。

例：命题“无理数的无理数次幂仍为无理数”是否成立?

这就说明，命题不成立。

1.4 反例对肯定命题的作用

如果否定了一个命题的所有反例，是否就证明了这个命题是成立的？答案是肯定的！

例：求证：两条直线相交只有一个交点。

分析：正面论证是很困难的，反过来考虑所有反例：“两条直线相交不止一个交点”的情况，若能经过推理否定了该反例，则原命题得证。

证明：假设两条直线相交不止一个交点，不妨设有A，B两个交点。因为两点确定一条直线，所以经过点A，B的直线只有一条，与已知两条直线矛盾。即两条直线相交只有一个交点。

2 反例对学生思维能力的培养

2.1 注重反例教学培养学生的逆向思维能力

逆向思维是从已有的习惯思路的反方向去思考和分析问题。在数学学习中的某些概念、定理、性质和法则都比较抽象，学生难以理解。在教学时，教师必须让学生从正面去理解有关知识，并举例加以巩固，而恰当地运用反例可以使学生加深对所学知识的理解和掌握，也有利于培养学生的逆向思维能力。

2.2 注重反例教学培养学生的侧向思维能力

侧向思维是从知识之间的横向相似联系出发去模拟、仿造或分析问题的思维方式。在数学学习中的证明两个三角形相似，三角形全等等知识之间存在着某些联系。在教学中，我们可以利用相互间的联系，用自己熟悉的方法去认识新的定理、性质等知识，用类似的反例去否定新的谬误，使学生尽快地理解和掌握新知识，当然也有利于培养学生的侧向思维能力。

2.3 注重反例教学培养学生的多向思维能力

多向思维是从尽可能多的方面来考察同一问题，使思维不局限于一种模式或一个方向，从而获得多种解答或多种结果的思维方式。多向思维在解决问题时有三种基本形式：一题多解、一法多用、一题多变。在数学教学中，对于一个假命题可以用多个反例，对于同一个例子可以作为多个命题的反例，我们还可以多次改变真命题的部分条件，构造多个假命题，然后逐一用反例将其否定，以加深对原命题的理解。这样不但可以使学生明白命题错误的根源，纠正错误，加深其对所学知识的理解，而且更有利于学生多向思维能力的培养。

我国原本的应试教育已逐步淘汰，取而代之的是素质教育的新时代。数学教学也充满了灵活多样、开放、动态的特点，创新思维能力和综合能力的培养成为教学的重点。因此，在数学教学中，根据学生存在的问题，进行反例教学，逐步培养学生的思维能力，提高学生自学能力及分析、解决问题的能力。

3 实施反例教学要注意的问题

反例教学既有其极其重要的作用，也有其在实施的过程中需要注意的环节。

3.1 注意反例教学的引人

由于学生年龄、生理和心理特征以及认知结构的不完整性，他们的思维受到一定的局限性，考虑问题可能还会不够周全，在教学过程中教师应该注意到反例教学引入的合理性和可行性。

3.2 注意反例教学的构建

在进行教学时，教师不仅要恰地使用反例，更重要的是要引导学生构建反例，这实际上是为学生获取知识创设了一种探索的情景。一般情况下，许多反例的构建不是唯一的，这时候教师可选择一些典型的数学知识或问题，通过创设问题情景，引导学生构建反例，使学生敢于和善于发现问题、提出问题、分析问题，解决问题，从而提高学生的思维能力。

因此，学生构建反例的过程也是他们思维发挥和训练过程。

3.3 注意反例教学的逐层深入性

在教学时，反例教学的使用必须建立在学生对概念有一定理解的基础上，若在学生刚刚接触概念时就使用，会导致学生先入为主，从而干扰其对概念的掌握。反例的构建要根据学生的认知发展水平和已有的认知结构逐步进行，把某些难度较大的问题转化为一些简单易懂的题目。

总之，数学反例是数学课堂教学中一个有效的调节器，在数学教学中，适时地引进一些反例或者适当地引导学生构建反例，往往能使学生在认识上产生质的飞跃，从而帮助他们巩固和掌握知识，培养他们思维的严谨性、灵活性、发散性、逻辑性、创新性和全面性。

4 反例的教学局限性

教师在教学过程中要有意识地积累各块知识中经典的反例，对于关键知识点教学是十分有益的。同时可以适时鼓励学生自己举出需要的反例，以增进认知。然而，正例与反例在教学中要适度应用，反例教学如果把握不好，容易产生副作用，需要警惕。不恰当地应用反例，主要有以下表现：

4.1 过早进行反例教学，会使得主次颠倒、喧宾夺主

在我们的教学中应把把握重点，对教学重点精讲细练，等到学生对正面题意有深刻领会、理解之后，再适当地出示反例，让学生更深层次的理解题目。

4.2 过于强调反例，会给学生造成心理压力

学生的认知能力及思维发展存在着一定的差异，部分同学接受知识的能力存在一定的滞后性，掌握理解知识需要一个慢慢消化吸收的过程。如果这时候教师过于强调反例，会给学生发出错误信号：你随时都会出错！这将会让学生认为自己做题时出错是在所难免的，从而打击学生的自信心，失去对数学的兴趣。

4.3 过多使用反例，不符合学生的记忆规律

心理学表明：强烈的记忆意图使人注意力集中，记忆效果良好；反之，则会降低注意力，造成遗忘。“过多”的使用反例教学会逐步淡化“正例 ”的记忆效果，使学生思考问题专门从反面入手，而有些题目不适合从反面思考，这样使得教学效果适得其反。正如教师最讨厌的“该记的没记住，不该记的全记住了”。

综上所述，数学教学中离不开反例，也不能处处都用反例。我们要以正例为主，反例为辅，才能使例题教学达到预期的效果。

［1］罗腾根.浅谈反例的教学功能与构造方法[J].中学数学教学参考，1996（11）：5-6.

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［3］何华兴.数学反例的教学价值[J].数学教学通讯，2004（6）：30-32.

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