长江重庆主城段河流长度分维数与洪水的关系

吴立春，倪志辉

(1.重庆第二师范学院，重庆400067;2.重庆交通大学西南水运工程科学研究所，重庆400016)

近年来，一些研究已经初步证明了水系分形性质的存在。陈彦光，等［1］探讨了水系分维计算方法的差异;姜永清，等［2］分析了黄土高原水系horton级比数和分形特征;朱晓华，等［3-5］应用网格法计算并探讨了中国水系的盒维数及其关系，中国不同区域水系分维与山系、断层系分维的关系;李后强，等［6］曾导出水系分形维数与水系级别的关系;王秀春，等［7］运用GIS模拟计算径河流域的分维特征并分析其生态意义;马宗伟，等［8］认为河流水系形态特征可以通过河流的分形特征来反映;倪志辉，等［9］基于分形理论对水流掺混长度进行了计算分析。

目前针对长江重庆主城段长度的分形特征的研究还很少，并且还处于理论探索分析阶段。而重庆位于长江上游，地理位置优越，战略地位重要，水系发达，港口密布，是长江上游最大的港口城市。因此，长江重庆段长度分维数的测量可充分发挥长江“黄金水道”作用，将更好的发挥重庆的水运优势，具有重要的战略和现实意义。笔者主要研究长江重庆主城段河流长度的分形维数及其与洪水的关系。

1 研究方法

1.1 分形模型的建立

按照 Mandelbrot［10］的定义，分形是指其组成部分以某种方式与整体相似的形体。分形分布满足式(1)关系式:

式中:s为欧氏长度;y为度量尺码;D为分形维数;A为一个比例常数。

对式(1)两端取自然对数，得:

再把lns和lny分别绘于xy轴的坐标上，用最小二乘法来拟合该直线，它的斜率取 -D。这样可以求出它的分维值D。

一般情况下D为常数，这种分形可称为常维分形。若D与特征线度呈函数关系，则称之为变维分形。事实上，自然界中严格满足常维分形形式的现象是不存在的，大量的复杂现象需用变维分形来描述。

笔者采用由累计和序列获得的分维模型，称为“累计和分形”［11-12］。该方法是:对于任意函数关系u=f(y)都可以转换成为常维分形u=Ay-D的形式，也就是将数据进行一系列地变换，使变换后的数据能用常维分形来处理，即通过构造1阶、2阶、3阶…累计和序列分别建立各阶累计和的分段变维分形模型，最后选择效果最好的变换并确定其相应的常维分形参数。

该方法的具体步骤如下:

1)确定原始数据对(Ni，ri)，其中按r从小到大的顺序排列，i=1，2，…，n。这些数据对在双对数坐标上是一个个的数据点，利用式(3)计算相邻两点在双对数坐标中所连接线段的斜率的相反数，即分段变维的分维数Di，i+1，这些分维数一般变化较大，没有规律。

2)构造各阶累计和。以(N1，N2，N3，…)等为基本序列，按下面的规则构造各阶累计和:

式中:S1，S2，S3，…为指 1，2，3，…，n 累计和序列;N=1，2，3，…，n。

3)建立各阶累计和的分段变维分形模型。以一阶累计和为例，利用式(4)计算数据点(S1i，ri)和(S1i+1，ri+1)，及在双对数坐标中的斜率的相反数D1i，i+1，即一阶累计和的分段变维分形的分维数。根据n个数据对，可以得到n-1条线段的分段变维分形的分维数，称之为分维数序列。用DNi，i+1表示N阶累计和的分段变维分形的分维数序列，N=1，2，…，n;i=1，2，…，n-1。

4)确定效果较好的变换并确定相应的常维分形参数。

1.2 分形维数的计算

笔者采用实测的2007年长江重庆段地形图为资料(图1)。

按照式(2)进行分析计算，得双对数坐标(图2)，可以看出，数据点明显不是直线，说明长江重庆段河流长度呈变维分形关系。因此，必须对其进行变换处理，建立变维分形模型。故笔者采用累计和变维分形方法计算，左岸计算过程见表1。

图2 长江重庆主城段原始分段分维序列Fig.2 The original sub-dimensional fractal sequence of Chongqing city of Yangtze Rive

表1 长江重庆主城段左岸分段变维维数计算结果Table 1 Result of sub-dimensional fractal dimension of Chongqing city of Yangtze River left bank

右岸计算过程同左岸，相关计算结果见表2及图3。

表2 实验数据直线相关方程及2阶累计和分维值计算结果Table 2 The second-order accumulated fractal dimension of the measured

图3 长江重庆段2阶累计和分段分维序列Fig.3 Second-order accumulated variable-dimensional fractal sequence of Chongqing city of Yangtze River

从图3可明显看出，通过2阶累计和分维变换后，数据点与直线吻合得很好，说明长江重庆段河流分维呈2阶累计和分形关系。经计算，左岸分维值 D2=-1.049 5，相关系数 R=0.999 7，右岸分维值 D2=-1.087 5，相关系数 R=0.999 4。由此可得出，长江重庆主城段河流长度具有二阶分维特性。

2 长江重庆段河流分形维数与洪水的关系

河流长度的分维反映了河道弯曲程度的大小［13］，河流长度的分形维数越大，河流越蜿蜒曲折;反之，河流越平直。对一条河流来讲，不同河段的弯曲程度是不同的，河流长度的分维值也是不同的;就洪水来说，不同河段发生洪水的可能性、洪水的强度是不同的。因此，计算整个河段长度的分维值意义不大，应该把河流分段，计算出不同河段的分维值，找出各河段分维值与洪水间的关联。

从定性上分析，河流各河段洪水发生的可能性和各河段长度的分维有一定的关联性。河段越曲折，河段长度的分维值越大，河流的泄洪能力越差，洪水发生的可能性和洪水的强度越大。为了从定量上分析河段长度分维与洪水的关系，笔者将以长江重庆主城段河道为例，通过定量计算河流长度分维与统计实测水位数据之间的关系，来探讨河流长度分维与洪水的关系。

2.1 长江重庆段河流各河段长度分形维数的计算

笔者将长江重庆段分为6个河段:长江上游—李家沱长江大桥、李家沱长江大桥—鹅公岩大桥、鹅公岩长江大桥—菜园坝大桥、菜园坝大桥—石板坡长江大桥、石板坡长江大桥—大佛寺长江大桥及大佛寺长江大桥—长江下游，并按左、右两岸分开计算得到各河段长度的分形维数及相关系数(表3)。

从表3可以看出，长江重庆段各河段长度的分形维数，其相关系数均在98%以上，这说明长江重庆段河流长度具有很好的分维特征，得到的分形维数能够很好的反映长江重庆段河道的特征。表3中，李家沱长江大桥—鹅公岩大桥、鹅公岩长江大桥—菜园坝大桥、菜园坝大桥—石板坡长江大桥3个河段左岸的分形维数依次增大，分别为:-1.388 7，-1.030 6，-0.989 0;上述 3 个右岸河段长度的分形维数也依次增大，分别为:-1.451 0，-0.995 6，-0.984 2。分形维数的大小反应了河流弯曲程度大小，分形维数越大，河流越弯曲，所以可以得到李家沱长江大桥—鹅公岩大桥、鹅公岩长江大桥—菜园坝大桥、菜园坝大桥—石板坡长江大桥3个河段河道的弯曲程度越来越大。

表3 长江分段左右岸实验计算结果Table 3 The Result of Yangtze River left＆right bank

2.2 长江重庆段河流长度的分形维数与洪水关系

根据资料计算出，李家沱长江大桥—鹅公岩大桥、鹅公岩长江大桥—菜园坝大桥、菜园坝大桥—石板坡长江大桥3个河段左右两岸的高水位2阶累计和分维值(表3)。从表中可以得到在同一观测站水位越高，分维值越大。参考重庆海关水文站的水位流量关系(表4)，可以得出，在同一观测站流量越大，水位越高。因此，在同一观测站流量越大，水位越高，分维值越大，反过来讲，分维值越大，水位越高，并且流量也越大，洪水就表现得越明显。这正印证了河流各河段洪水发生的可能性和各河段长度的分维值之间的关系:河段越曲折，河段的分维值越大，河流的泄洪能力越差，洪水发生的可能性和洪水的强度越大。

表5 重庆海关水位站水位-流量关系线(黄海高程)Table 5 The water level-discharge line in Chongqing Haiguan station(Yellow Sea Elevation)

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3 结论

笔者以长江重庆主城段实测资料为例，从分形标度的角度出发去探讨河道的分形特征。研究结果表明:

1)长江重庆主河段存在变维分形现象，具有2阶分维特性，左岸分维值为-1.049 5，右岸分维值为 -1.087 5。

2)分维数可以反映河道的弯曲程度，李家沱长江大桥—鹅公岩大桥、鹅公岩长江大桥—菜园坝大桥、菜园坝大桥—石板坡长江大桥3个河段的分维数依次增大，河道的弯曲程度也依次增大。

3)在同一河段分维值越大水位越高，洪水就越表现明显。因此，河道的分形维数可以作为洪水预测的一个定量指标，河道的分形维数越大，洪水发生的可能性越大。但是，由于影响洪水产生的因素很多，如水位、含沙量等，所以河道的分形维数只能作为预测洪水的指标之一，应该找出更多的预测指标来更快、更准的预测洪水的发生。

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