高师数学专业高等代数教学构想

2012-08-15龙述德

重庆高教研究 2012年5期

龙述德

(重庆文理学院数学与财经学院，重庆永川 402160)

高等代数是高师数学专业的入门课，也是最重要的基础课之一，是学生将来学习后续数学课程及现代科学技术的必备基础.通过本课程的学习，应让学生掌握高等代数的基本知识和技巧，并对初等数学内容有较深入的了解.

高等代数是学生踏入大学校门后第一学期开设的课程，其内容和初等数学有着紧密联系.笔者发现，学生一开始学习觉得这门课程似乎并不太难，但随着学习的深入，好像与初等数学又相去甚远，很多内容抽象得让他们无法理解.另外学生在学习中也经常会问:学习高等代数对他们将来从事中学数学教学有何作用?针对这些问题，笔者认为应注意以下几个方面:

1 培养学生的兴趣，激发学生的学习热情

兴趣是最好的老师，兴趣是成才的先导，兴趣可以激发学习的内在动机.因此，在教学中教师必须对课堂教学进行精心设计，激发学生的学习热情，使学生对所讲的课感到趣味无穷.高等代数的内容和初等数学有着紧密联系，在教学中若能有机地将他们结合起来可有效地培养学生的兴趣.例如，学生在中学曾学过因式分解，当时只是学过一些分解因式的方法和技巧，而对多项式“能不能再分解”及“分解是否唯一”等问题心存疑惑却找不到答案.这样，在多项式理论的教学中可先提出曾在中学出现的这些问题，激发他们的求知欲，通过学习让他们感到学习高等代数既可以解决很多在中学不明白的问题，又可以高屋建瓴地指导将来的中学数学教学.此外，数学背景的介绍对培养学生的兴趣是必要的.

2 加强基本概念的教学，提高学生的抽象思维能力

高等代数的基本概念多，是掌握高等代数知识和技巧的基础［1］.笔者发现，有相当部分学生对基本概念的理解很模糊，常常抓不住本质，主要原因是学生思维能力中的抽象思维能力比较差，不能准确地理解和把握概念的内涵及外延，无法掌握概念的本质属性.因此，在讲解基本概念时需举几个符合定义条件的例子把其具体化，通过例子理解概念，运用例子掌握方法，这样就使学生学习新概念时，能抓住概念的本质，做到对概念准确、完整地理解.诚然，高等代数有许多基本概念很抽象，学生学习时经常理解困难或混淆不清，这就需要教师在教学时引导和帮助学生把握好定义中的关键词句，对需要满足的条件逐点讲述，深入剖析概念.比如，欧氏空间的定义［2－3］:

设V是实数域R上一线性空间，在V上定义了一个二元实函数，称为内积，记作(α，β)，它具有以下性质:

1)(α，β)=(β，α);

2)(kα，β)=k(α，β);

3)(α + β，γ)=(α，γ)+(β，γ);

4)(α，α)≥0，当且仅当α =0时(α，α)=0.

这里，α，β，γ是V中任意的向量，k是任意实数，这样的线性空间称为欧氏空间.在教学中首先指出欧氏空间必须是实数域上的线性空间，其次在其上面定义的二元实函数必须满足的四个条件，尤其是第四条更需要强调.由定义还可看出，欧氏空间对维数并没有作要求可以是有限维的，也可以是无限维的.为了便于学生理解欧氏空间的定义，还可举两个学生熟悉的例子:一是平面上所有向量构成的集合R2，对于R2任意两个向量α =(x1，y1)，β =(x2，y2)，定义内积 (α，β)=x1x2+y1y2;二是闭区间［a，b］上的所有实连续函数所构成的集合 C(a，b)，对于函数 f(x)，g(x)定义内积 (f，g)=.这样可使抽象的欧氏空间的定义变得具体化，从而提高学生的理解能力.

另一方面，还可以尝试从一些具体的熟悉例子出发提取本质的东西，进而定义一个新的概念，这样可提高学生的抽象思维能力.如在介绍向量空间基的定义前，以平面和三维空间的单位坐标向量为例，说明这些空间的任一个向量不但可以由单位坐标向量组线性表示，而且这些单位向量组都线性无关，这样就可自然地抽象出向量空间基的概念.

3 上好习题课，提高学生解决问题的能力

习题课是数学教学中的一个重要环节.因此，教师首先要及时安排习题课，处理学生在做作业过程中出现的问题及与教学内容有关的具有代表性的习题.在习题的讲解中，应注重分析，抓住习题最本质的东西，突出重点、分散难点，做到深入浅出，化难为易.这样不仅可增强学生学习高等代数的信心，还可激发他们的求知欲.另外，在处理习题时，还要做到举一反三，触类旁通，教给学生处理问题的方法.同时，在习题课中教师不宜事无巨细都讲，要留有余地引导学生积极思考，尽量让学生自己总结解题方法，培养他们的独立思考能力和解决问题的能力.

适度的习题训练是培养学生的数学思维和数学素养的行之有效的手段.因此，在习题课中提炼高等代数教学内容中处理问题的方法显得尤其重要.例如，突出线性无关组的扩充在处理向量组问题、向量空间问题和欧氏空间问题等的作用和统一性;突出初等变换在处理矩阵问题和线性方程组问题时的作用及该方法的统一性.通过对高等代数教学内容的中的诸如分类、化归、构造等方法的提炼，可以加深学生对数学方法重要性的理解并提高他们分析问题、解决问题的能力［4－5］.