高教数学解题方法研究

李奇芳

（山西财贸职业技术学院，山西 太原 030031）

对于不同专业的高校学生来讲，他们所要求的高教数学知识是不一样的，但并不意味着高教数学可以取消，高教数学看似是一门学术性的学科，但它却渗透着电子领域、经管领域等这些实用性非常强的学科。正是由于高教数学如此重要，学生必须学会高教数学解题，而如何去解高教数学题，则是重中之重。只有掌握了方法，才有能力从容面对各种挑战，才能使培养出来的学生成为合格的工程技术人才。

一、对比解题法在高教数学中体现

对比解题法简单来说，就是通过各个对象间的比较，在过程中找出他们的异同点。对比法在高教数学中是一种常用的解题方法，可以进行对比的种类也是多种多样的。例如几个公式之间的对比、数与形的对比、解题方法的对比等。在高教数学解题过程中，如果能正确地运用对比法，则可以引入新的课题，突出教学重点，加强高教数学的基本技能和基础知识的训练，最终达到学习新知识，发展智能的作用。

高教数学中存在着许多互逆的概念、关系、运算、命题、公式等。在这一类关系的教学中“逆向问题”基本上都是难点，学生不容易掌握。如果，教学中恰当充分地使用“逆向”与“正向”的对比，使问题成为互逆间的联想，进而把握正逆问题的区别和联系，就可以最终解释出逆向问题的本质所在。

例：求不定积分与微分的基本公式。在学生已经掌握了求导数的基本公式和基本运算法则的前提下，讲解清楚原函数与不定积分的定义，就可以在此基础上提出了一个“正向问题”：

函数 f(x)=SinX，求其导数 f(x)?则 f(x)=f’(x)=(SinX)=CosX。

紧接着提出一个“逆向问题”；

如果一个函数的导数f(x)=CosX，求它的全体原函数。全体原函数则为；∫（f）dx=∫cosxdx=SinX+C=f（x）+C。

在此过程中，充分利用原函数概念这一转换条件使得微分向积分而转化，最终达到了求出积分基本公式的要求，为全面掌握好求积分的方法奠定了一个良好基础。

在高教数学的解题中，从正面讲解公式、定理、概念等是十分重要的事，如果仅仅是这样那将是远远不够的，必须利用反面和正面进行对比，才能更加深入地了解问题的可能性，使之加深学生对其的理解程度。例如：在介绍数列极限的精确定义，即《ε-N》定义时，如果仅仅从证明讲解，学生往往不能充分理解ε、N的真正含义和它们之间存在的关系。《ε-N》定义的要点是；

（1）当ε>0任意给定后，必须能找到相应的N（但N不唯一），使得当n>N时，恒有|Xn-A|<ε成立。

（2）当ε>0具有相对稳定性，即ε一旦给定，相应的N也就随之确定了，一般情况下，ε越小，N越大。

（3）当ε>0具有任意性，正是因为这样，不等式|Xn-A|<ε才能刻画出数列Xn与A无限接近的意思。

高教数学解题过程中也存在各大题型间的对比，解题是检验学生掌握所学内容的最好方法，在甚多的题型中始终保持着正确的航向是一件非常难的事情。解题的主要法门是学生不能充分把握解题的要领，解题过程中不重视具体问题具体分析，不善于用一种全新的视角去思考问题，而是死记硬背公式或者相似题型而往上生搬硬套。如何才能从这种弊端中走出来，这就需要经常在各个题型间进行对比，这样方能充分地训练学生的思维能力，达到培养智力的目的。题型间的对比可以从以下几个方面来考虑：

（1）形同实同。有些题型表面与实质都相同，因此思考方法解题途径完全相同。

（2）形异实同。有些题型表面不同，实质相同，因此解题方法以及途径完全相同。

（3）形同实异，在求不定积分中，有些题型很类似，但要善于在类似中找出差异，找清楚实质所在，并找出行之有效的解题途径。

另外，在解题过程中还存在错误与正确的对比。在接受新课题新要求的时候，学生往往没能对出现的各种错误引起足够的认识，以至于不出现错误才是不正当的，错误是正确的先导。问题的关键在于学生在解题过程中出现错误的时候，并不知道为什么出现错误、错误的原因在哪里，这时候老师就应该发挥主要职责，在学生出现错误的时候运用正确的解题方法而与其作对比，因势利导，这样就能使学生深刻地认识问题的本质，并在以后的解题过程中避免此类错误问题的出现。

二、高教数学解题逆向思维的运用

所谓逆向思维，指的是在数学解题和研究过程中运用和平时习惯的思维方式相反的一种思维方法。在高教数学解题过程中，当顺推不能解决问题时，就要考虑逆推方法；当直接解题不能达到目的的时候，可采用间接解决问题的方法；当探讨的可能性发生困难时，可以反过来探讨它的不可能性。这样说来，不管什么情况下，当反复思考一个问题而不得要领、陷入困境时，逆向思维往往可以使人茅塞顿开、绝境逢生。逆向思维在高教数学解题研究时经常会被运用到。例如：在证明题中所包含运用的反证法就是运用了这样的一种思维方式。

三、高教数学解题中的化归策略

当我们所面对的数学问题不能用已知模型加以解决的时候，就要考虑其他意义上的解题策略，其中一个最为重要的策略就是化归转化策略，即化繁为简，化生为熟，化未知为已知，化新为旧等，这些是人类认识的基本规律。简单来说，化就是变化原问题，转化原问题。归就是指变化、变换、转化原问题，是有目的、有方向的，其主要目的是变化出一个已知数学模型，就是通过变化使面临的问题转化为解决问题的过程。

化归策略共涉及到三个基本要素，即化归的对象、化归的方向和化归的目标。化归的对象一般就是我们所面临的高教数学问题；化归的方向指的是解决数学问题的方法；化归的目标就是某个已知的数学模型。

在解题过程中，必须注重思维定势的积极作用。在各种解题的基本方法（图像法、判别式法、换元法、代定系数法、赋特殊值法等）和基本的策略上（对比考虑、逆向考虑、正难则反、以进为退、以退为进、换向考虑等）如果一旦形成了思维定势，这就使学生在实际解题过程中胸有成竹、有规可循，最终能够完整轻松地把问题解决掉。

四、把高教数学题与所学专业相结合

把高教数学题与所学专业相结合是高教数学解题的有效方法。其实，高教数学的解题方法不是只针对题目而言，更重要的是针对学生的兴趣与注意力，当学生们的兴趣注意力上来了，高教数学的解题也不是什么难事。把高教数学题融入到学生们所学的专业中，让学生认识到高教数学不是独立的，不是陌生的，更是与他们的专业息息相关的。例如，对经管类的学生，通过边际成本、收益效应等与他们熟知的概念与高教数学知识相串联，对电子类的学生，通过电流的瞬时感应等概念与高教数学知识相串联。熟悉的知识概念与抽象的高教数学相结合，可以激发学生更多的学习兴趣。因此，把高教数学题与所学专业相结合是高教数学解题的有效方法。

五、启发讨论、理论与实践相结合

在平时高教数学解题过程中，注意要有自己的启发性，培养出自己独立思考、联想问题的习惯。在课堂解题过程中，全体同学一块参与、共同研讨，每个人的想法都是不一样的，都有自己独立的思维空间，这就形成了课堂上的被动解题变为了主动解题，启发与讨论相结合，使每个学生都能从群体研讨中获得属于自己的收益。

在每一节高教数学课结束的时候，教师除了安排必要的课外习题和复习外，尽量给学生安排与自己专业相关的应用性问题，让学生共同参与用数学知识解决问题的过程，体验到数学应用的乐趣。数学的本质也在于此，它是研究客观世界的数量关系和空间形式的科学。对实际问题，通过分析、假设的方法，舍掉一部分次要的因素，最终把实际问题转化为一个数学问题，并运用数学知识找到相应的解决方法，最终通过所学的专业数学知识把问题彻底解决掉。

六、数形结合，化抽象于具体

数形结合，化抽象于具体是高教数学解题的重要方法。高教数学内容的确是抽象的，但是如果通过几何知识来辅助，这些知识就不再那么抽象。例如，在介绍罗尔定理时，就可以从引入直观的几何图像入手，那么可导性和增减性则一目了然。老师在课堂上是这样讲的，那么在高教数学解题中照样可以运用。通过大致绘图，便可以了解函数的增减性，这种数形结合方法一直备受推崇。不是所有的题目都要手算，有的时候，图一画便解决了。因此，在高教数学解题中多运用数形结合，不仅丰富了解题思路，更节省了解题时间和解题效率。

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