谈数学的思想方法在概率教学中的应用

李 丹

（北京科技大学天津学院 中国 天津 301830）

数学思想是在数学研究活动中解决问题的根本想法，是对数学规律的理性认识。概率论与数理统计学科中包含的随机思想、公理化思想、模型化思想、数形结合思想、推断思想等是该学科的精髓和方法论的内涵。

概率论与数理统计的学习，是过程、思想、方法和观念的学习，目的是让学生体会概率论与数理统计的基本思想方法。概率的核心可以简单的概括为：数据而不是数字；活动而不只是概念；过程而不只是结果。概率论属于不确定性的数学，是为了寻找随机性中的规律性，这与高等数学、线性代数在思维方式和学习方法上是不一样。概率主要依靠辩证思维和归纳的方法，需要学生在活动中学习概率论与数理统计的内容、掌握概率处理的方法。总之，重视思想方法的教学能够培养学生的创造思维能力和开拓精神，使学生充分发挥个人潜能，真正实现个体的最优化发展。本文着重讨论概率中常用的几种数学思想方法，随机思想、统计思想、模型化的思想等。

1 随机的思想

随机思想是概率论核心的思想方法,它从数量的层面上研究了事件发生的必然性和偶然性。教学中应该让学生体会最原始的随机环境，体会随机现象的一些特点，教师应通过具体的来实例丰富学生对概率的进一步认识，从而理解随机观念，并举大量实例说明不确定现象的存在性。学习概率论就是学习书本中渗透的一种新的思维方法，统计与概率论的思维方法，和以前学习的逻辑推理方法不一样，它是不确定的，也就是我们所说的随即思想，这是培养学生思维能力最重要的体现。

随机思想与其它思想方法之间的内在联系体现在多个方面，随机思想的分类、归纳等确定性数学思想之间的联系。从随机思想的起源来看，又是分类、归纳等确定性的数学思想进一步发展和具体的应用。事实上，作为定量研究随机思想的概率和统计方法最先起源于归纳法，概率的发展经历了三个过程：归纳法到概率归纳法，再到概率论的发展过程，而统计思想则是由局部到整体、有抽象到具体、由特殊到一般，是归纳法在数学思想方法上上的具体应用。

概率统计的随机性要求学生的学习方式不能一再沿用传统数学学习的方法，而必须采用具体的问题进行具体分析的方法，在解决一些具体的实际问题过程中加深对概率统计的定义、公式、法则、原理的理解。一方面在学习过程中要不断地总结用概率解决问题的各种数学模式，另一方面，还需要不断地提高判断、创建数学模型的能力、在对各种不同实际情况的分析、判断、探索的过程中强化自身的数学随机意识。

对学生数学随机意识的培养，是一项长期而艰巨的任务，观念的转变也不是一朝一夕的事，这样就要求我们通过改变教学方法激发学生的学习兴趣，让他们自觉的投入到概率统计的学习中去，引导学生能够积极主动地学习，教师应创设吸引学生的教学手段，能引导学生积极主动参与到教学情景中来，挖掘学生的内在学习潜质，培养学生掌握和运用知识的能力。只有让学生认识到这一点，才能真正明白现实世界广泛存在的随机性，并主动地应用到生活中去。抽样的方法很多，但无论用什么方法抽样，都要坚持随机抽取的原则，这是随机思想的精髓。

2 统计推断的方法

概率统计推断的思想是研究数理统计的一种重要的思想方法，它与数学中常用的逻辑推理方法有所不同，它是带有概率性质的一种推理方法，依据是“小概率事件的原则”。小概率事件原则认为：概率很小的事件在一次试验中发生的可能性几乎为零。解决假设检验问题是概率推断思想最重要的体现，其基本思想是基于“小概率事件在一次试验中几乎不可能发生”这一小概率事件的原理。

统计课程的核心目标是引导学生体会统计思维的特点和作用，体会统计思维与确定性思维的差异。统计学是一门研究随机现象，以推断为特征的方法论学科，由部分推及全体的思想贯穿于统计学的始终。具体地说，它是研究如何搜集、整理、分析反映事物总体信息的数字资料，并以此为依据，对总体特征进行推断的原理和方法。用统计来认识事物的步骤是：研究设计→抽样调查→统计推断→结论。这里，研究设计就是制定调查研究和实验研究的计划，抽样调查是搜集资料的过程，统计推断是分析资料的过程。显然统计的主要功能和作用是推断，而推断的方法是一种不完全的归纳法，因为是用其中的一部分资料来推断总体。统计课程的核心目标是引导学生体会到统计思维的独特的特点和作用，体会统计思维与确定性思维的巨大差异。例如，在运用样本估计总体的学习中，应通过对具体数据的分析，使学生体会到由于样本抽取具有随机性，样本所提供的信息在一定程度上反映了总体的有关特征，但毕竟是一种推断，所以与总体肯定是有一定偏差的。另一方面，如果抽样的方法应用的比较合理，样本的信息还是可以比较好地反映总体的信息。

3 模型化的思想

所谓模型化的思想，就是把所考察的具体的实际问题转化为数学问题，建立相应的数学模型，通过对具体模型的分析研究，从而解决实际问题的一种数学思想方法。概率中存在很多的数学模型，如:古典概型、几何概型等。

在概率论课程中加载了数理统计的基本内容，是为了给学生展示如何针对具体的实际问题，构造数学模型，运用所学的概率知识做出科学合理的判断与估计。这种处理既提供了理论应用于实际的演示、操作和实训平台，又是理论知识本身的延展和巩固，避免了工科学生学习数学“只见树木不见林”的短期效应以及“学数学没有用途”的偏见。

随机数学有很大一部分可以用概率模型进行描述，如有限等可能概型(古典概型)、伯努利概型、正态分布等。应用概率模型方法就是根据随机问题的具体特点，模拟构建一个随机问题的现实原型或抽象模型，借以反映问题的内在规律，然后选择相应的数学方法对求得的数学模型做出解答，表现出从实践到理论又回到实践的过程。概率统计教学中应重视对概率模型的理解和应用而淡化繁杂的计算，使学生经历从多个实例中概括出具体的概率模型的过程，体会这些例子具有的共同点，培养学生识别和建立模型的能力。使用概率模型解决问题是归纳思维的一种典型应用，它离不开人们的观察、试验与合理的推理，是数学化意识和思想方法的具体体现，有助于培养学生将数学理论应用于解决实际问题的能力和创新意识。

总之，概率论与数理统计是一门有着广泛应用的数学学科，因此在教学中不断地渗透数学的思想方法，准确地把握这门课与学生所学专业的结合点，突出其应用性。在教学中应结合学生的专业知识，调整教学实例。在讲授过程中，将统计理论与实际问题相结合，培养学生用所学的知识去解决具体实际。

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