涉及例外函数的亚纯函数的正规定则

危合文

（江汉大学 数学与计算机科学学院，湖北 武汉 430056）

涉及例外函数的亚纯函数的正规定则

危合文

（江汉大学 数学与计算机科学学院，湖北 武汉 430056）

应用正规族理论及Zalcman引理，得到涉及例外函数的亚纯函数的一个正规定则，改进了已有的一些结果。

亚纯函数；正规族；例外函数

1 预备知识

设f为复平面上的非常数亚纯函数，文中利用值分布论中的标准记号，术语T（r，f）、N（r，f）、S（r，f）及相关不等式和性质参见文献[1-2］。

定义1[3］设D为复平面上的一个区域，F是定义在D上的一个亚纯函数族，对于任意序列｛fn（z）｝⊆F，都存在一个子列｛fnj（z）｝，在D上依球面距离内闭一致收敛于一个亚纯函数或∞，则称F在D上正规。

定义2[3］设F是定义在区域D上的一个亚纯函数，如果存在z0的一个邻域U（z0），使得F在U（z0）内正规，则称F在z0正规。

定理A［4］F是定义在区域D上的一个亚纯函数族，n≥2，a≠0，b为有限复数。若对于任意f∈F，f≠b，且满足在D内f+a（f′）n≠b，则F在D内正规。

定理B［5］F是定义在区域D上的一个亚纯函数族，k为正整数，a≠0，b为复数，若对任意f∈F，f的零点重级至少为2，n≥2，且满足在D内f+a（f′）n≠b，则F在D内正规。

本文将定理B中的条件“f+a（f′）n≠b”换成“f+a（f′）n≠b（z）”，改进了定理B，得到涉及例外函数的一个正规定则。

引理1［6］设F为单位圆盘Δ上的一族亚纯函数，对于每一个f∈F，f的零点的重数至少为k。存在一个数A≥1，使得f∈F且f=0时，如果F在单位圆盘Δ上不正规，则对0≤α≤k，存在

1）一个数r∈（0，1）；

3）函数序列fn∈F；

4）正数序列ρn→0+，

使得gn（ζ）=ρn-αfn（zn+ρnζ）关于球面距离内闭一致收敛到复平面C上的一个非常数亚纯函数g（ζ），且满足g#（ζ）≤g#（0）=kA+1。

引理2［7］设f是一个超越亚纯函数，f的零点重级≥k+1，a≠0，b是一个有穷复数，n≥k+1，f+a（f（k））n取值b无穷多次。

引理3［8］设f是复平面C上的一个亚纯函数，满足f（k+1）不恒等于0，k为正整数，则有

2 主要定理及证明

定理1F是定义在D上的一个亚纯函数，若对任意的f∈F，f的零点重数≥k+1，n≥k+2，其中k、n为正整数，且满足f+a（f（k））n≠b（z），a≠0为常数，b（z）在D内解析，则F在D内正规。

证明我们只需证明F在D内任一点正规即可。

假设对任意的z0∈D，F在z0不正规。下面分两种情形进行讨论。

情形1：若b（z0）=0，取f∈F，由于

且f的零点重数至少为k+1，于是有f（z0）≠0，由引理1，取则存在fm∈F，zm→z0，ρm→0+，使得

在复平面C上按球面距离内闭一致收敛到C上的一个非常数亚纯函数g（ξ），且g（ξ）的零点重数至少为k+1，从而

在复平面C上按球面距离内闭一致收敛于非常数亚纯函数g+a（g（k））n。

由于

由Hurwitz定理知，或者g+a（g（k））n≠0或者g+ a（g（k））n≡0。

所以由Nevanlinna第一基本定理和引理3得

由于n≥k+2，于是

矛盾。

若g+a（g（k））n≠0，由引理2，G为非超越亚纯函数，又g≠0，所以不妨设A≠0为常数，t≥1，N=n1+n2+…，nt，ni（i=1，2，…，t）为正整数，

由数学归纳法，当k≥2时，

情形2：b（z0）≠0，由引理1，取α=k，存在fm∈F，zm∈Δ以及ρm→0+，使得gm（ζ）=ρm-kfm（zm+ ρmζ）在复平面C上按球面距离内闭一致收敛到一个非常数的亚纯函数g，且其零点重数≥k+1，从而

在复平面C上去掉g的极点后的区域内按球面距离内闭一致收敛到亚纯函数a（g（k））n（ζ）-b（z0）。从而由Hurvitz定理知，或者a（g（k））n≡b（z0），或者a（g（k））n≠b（z0）。

① 若a（g（k））n≡b（z0），则g的次数为k的多项式，与g的零点重数≥k+1矛盾。

② 若a（g（k））n≠b（z0），则设c1，c2，…，cn是方程的互相判别的解，由Hunvitz第二基本定理，得

于是T（r，g（k））=s（r，g（k）），矛盾。

所以F在D内正规。

[1］顾永兴，庞学诚，方明亮.正规族理论及其应用[M］.北京：科学出版社，2007.

[2］杨乐.值分布论及新研究[M］.北京：科学出版社，1982.

[3］Hayman W K.Meromorphic functions[M］.Oxford：Clarendon Press，1964.

[4］Ye Y S.A Picard type theorem and Bloch law[J］. Chinese Ann Math Ser B，1994，15（1）：75-80.

[5］Fang M L，Zalcman L.关于f+a（f′）n的值分布[J］.中国科学：A辑，2008，38（3）：279-285.

[6］Pang X C，Zalcman L.Normal families and shared values[J］.Bull London Math Soc，2000，32（3）：325-331.

[7］Wang Y F，Fang M L.Picard values and normal families of meromorphic functions with multiple zeros[J］. Acta Math Sinica（N.S），1998，14（1）：17-26.

[8］Yang L.Precise fundamental inequalities and sun of deficiencies[J］.Sci China Ser A Math，1991，34（2）：157-165.

WEI He-wen
（School of Mathematics and Computer Sciences，Jianghan University，Wuhan 430056，Hubei，China）

The paper applies the theory of normal family and Zalcman′s lemmas，obtains a normality criterion concerning exceptional functions，and improves some existing results.

meromorphic function；normal family；exceptional functions

O174.52

：A

：1673-0143（2012）03-0009-03

（责任编辑：强士端）

2011-10-18

危合文 （1973—），男，讲师，研究方向：单复变函数。