基于遗传算法的FIR滤波器设计

2012-08-04吴艳君

通信技术 2012年3期

吴艳君

（菏泽学院物理系，山东菏泽 274015）

0 引言

FIR数字滤波器以其具有的稳定性和线性相位这两2个突出优点在现代信号处理中发挥了非常重要的作用。常用的FIR滤波器设计方法有窗函数法、频率采样法和最佳逼近法等，而频率采样法直接从频域进行设计，易于理解与实现，但存在一些不足，比如，如何确定过渡带样本值，传统的查表法不能保证数据是最优的。

本文提出一种FIR滤波器的优化设计，用遗传算法确定最佳过渡带样本值，得到最大的阻带最小衰减。

1 频率采样法的基本原理

对希望逼近的滤波器的频率响应H （ejω）在0～d2π之间等间隔采样N点，得到频率采样值Hd（k）[1]：

其中，Hg（k）为Hd（k）的幅度函数，θ（k）为相位函数。

对 Hd（k）进行N点IDFT,得到单位脉冲响应 h（n）∶

由h（n）可得到滤波器的系统函数 H（z）：

FIR滤波器具有线性相位的条件是 h（n）为实序列，且 h（n ） = ± h （N - 1- n ）。若要设计线性相位滤波器，采样值 Hd（k）要具有以下约束条件：

2 遗传算法

遗传算法[2]（GA，Genetic Algorithm），是一种全局优化算法，它借用了生物遗传学的观点，通过自然选择、遗传、变异等作用机制，实现各个个体适应性的提高。GA通常由3个基本操作组成：选择、交叉和变异，可定义为一个7元组，又称遗传算法的形式化定义[3]，即：

其中，M为群体大小；F为个体适应度评价函数；s为选择算子；c为交叉算子；m为变异算子；Pc为交叉概率；Pm为变异概率。在运行GA之前需设置以上各参数值。图1所示为遗传算法的流程。

图1 遗传算法流程

3 滤波器设计

3.1 GA实现

基于GA用频率采样法设计一带通FIR滤波器，技术指标为：通带上截止频率 ωpl= 0 .35π，通带下截止频率 ωpu= 0 .65π ，阻带上截止频率 ωsl=0.2π ，阻带下截止频率 ωsu= 0 .8π，通带最大衰减Ap= 0 .3dB ，阻带最小衰减 As= 6 0dB 。

选择采样点数N=40，在0～2π内等间隔采样，采样间隔 Δω=2π 4 0=0.05π。过渡带0.2π＜ω＜0.35π、0.65π＜ω＜0.8π中均有2个样本，对上过渡带来说，样本在 k = 5 ,k = 6 和 k = 2 5,k = 2 6处。假设用 T1、T2表示过渡带样本的值（ 0 ＜ T1＜ 1 ,0 ＜ T2＜ 1 ），则采样的幅度响应为：相位响应为：

由式（1）得 Hd（k），经式（2）可得到61点FIR滤波器的脉冲响应 h （n）。本文就是运用GA寻找最佳的 T1、 T2，从而得到最大的阻带最小衰减。

在GA的每i代中，对第 j条个体（表示 T1、T2的字符串）译码计算出 T1、 T2，并求出相应的实际最小阻带衰减 As，这样就可以定义该个体的适应度即：

其中，M为群体规模。然后在设置必要的参数后，即可按照图1执行操作，从而实现GA算法。

3.2 结果分析

对 T1、 T2进行编码，令个体为 L = 3 2的二进制字符串，因为设群体规模 M = 1 00，Pc=0.9，Pm= 0 .01，G= 2 0，运行GA[5-8]。经GA与查表法的设计结果如表1所示，表中 As是实际阻带最小衰减。图2和图3分别给出了查表法和GA得到的滤波器幅度响应曲线。可看出，经GA进行优化得到最佳的过渡带采样点，所设计的滤波器的阻带最小衰减参数，要明显优于查表结果，获得了最大的阻带最小衰减。