免疫系统Marchuk模型的定性分析

崔 诚，王 晓，肖 莉，刘安平

(中国地质大学数学与物理学院，湖北 武汉 430074)

免疫系统的Marchuk模型是数学免疫学中一个著名模型。关于这个模型的稳定性文献[1－7]已有较多的研究，但对其振动性，特别是周期振动和几乎周期振动的讨论，除文献[8－12]外，目前尚不多见，因此，笔者就这些问题在数学理论上进行深入分析。

1 Marchuk模型

以u1、u3分别表示抗原和抗体在时刻t的浓度，u2表示等离子细胞在时刻t的浓度，由u1、u2、u3组成的微分方程组如下:

式(1)即为Marchuk模型，其中α为免疫反应系数，是t的严格正的连续函数，其余参数均为正常数，uiτ=ui(t－ τ)，τ ＞ 0，i=1，2，3。若以f1(t，u1，u3)，f2(t，u2，u1τ，u3τ)，f3(t，u1，u2，u3)分别表示式(1)右端相应的函数，则式(1)可简写为:

假定α(t)是T－周期或几乎周期的，则fi随α(t)关于t是T－周期或几乎周期的，从而式(1)或式(2)又称为周期或几乎周期Marchuk模型。

2 周期解和几乎周期解的存在性

不难看出，f1关于 u3单调不增，f2关于 u1τ、u3τ单调不减，f3关于u1单调不增、关于u2单调不减。由定义知fi是混合拟单调的，或说向量函数f=(f1，f2，f3)具有混合拟单调性质。

假定条件1:

由此可得到:

引理如果一阶线性方程:

函数h(t)是连续T－周期或几乎周期的，K＞0(＜0)，则式(8)有唯一T－周期解或几乎周期解x(t)，且:

这个结论可以直接验证。

定理1设假定条件1成立，，为式(1)的一对耦合上、下解，f=(f1，f2，f3)在 Λ = ＜，＞ 上混合拟单调且满足式(7)，则式(1)存在唯一T－周期解或几乎周期解

证明先证明存在性。令B=C(R)是Banach空间，取其闭凸子集是T－周期或几乎周期的，

对任意v∈S，根据引理，可知线性方程组

有唯一T－周期解或几乎周期解:

由此确定一个定义在S上的映射:

显然，P是列紧算子，再由f在Λ上的混合拟单调性有P(S)⊂S。根据schauder不动点定理，P有不动点，即u=Pu，u(t)为式(1)的T－周期解或几乎周期解，且u(t)∈＜^u，~u＞。

再证明唯一性。采用反证法，设u(t)，v(t)都是式(1)的 T－周期解或几乎周期解，由于u(t)≠v(t)，因而有 t*∈R，使 u(t*)－v(t*)≠0。令yi(t)=ui(t)－vi(t)，由式(1)有:

对 ε ＞0，选取充分光滑的函数 θ(t)，θ(t)=0，t≤t*，0≤θ(t)≤1，θ(t)=1，t≥t*+ ε，作如下变换:

于是式(10)变为:

从而有:

由此可得到:

其中，K=K1+K2+K3。令 t*≤t≤t*+ ε，注意到右端第二项被积函数有界，于是有:

由Gronwall不等式，可得:

注意到z(t*1+ε)=θ(t*+ε)y(t*+ε)=y(t*+ε)=u(t*+ε) －v(t*+ε)，从而 u(t*+ε)－v(t*+ε)=u(t*)－v(t*)+u(t*+ε)－u(t*)－v(t*+ε)+v(t*)=u(t*)－v(t*)+(˙u－˙v)ε

由此并利用式(12)，可得:

ε＞0充分小，该式表明u(t*)=v(t*)，与假设矛盾。从而唯一性成立。定理1证毕。

3 周期解和几乎周期解的稳定性

在讨论稳定性之前，先叙述定理2。

定理2若定理1的条件成立，则初值问题

该定理的证明可由参考文献[12]中相应的定理证明方法得到。

下面讨论周期解和几乎周期解的稳定性。由于两者证明的方法相似，因而只给出周期解的证明。设u(t)为式(13)的解，u(t)为式(1)的T－周期解。令v(t)=u(t)－u(t)，且 u－u∈Λ，t∈[－τ，0]。由式(1)有:

由式(16)，有:

从而:

根据假定条件2，且ε＞0充分小，因此有常数 q＞0，使:

定理3如果假定条件1和假定条件2成立为式(1)的一对耦合上、下解，则其T－周期解或几乎周期解是全局渐近稳定的。

4 结论

从以上分析可以得出:免疫系统的Marchuk模型方程周期解和几乎周期解具有存在性及全局渐近稳定性。

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