基于强化区间线性规划方法的流域环境系统管理优化

刘年磊，毛国柱，赵 林

(天津大学环境科学与工程学院，天津 300072)

流域环境系统是由社会、经济、环境及资源等众多因素构成的复杂巨系统，具有不确定性等特征[1-2]，因此，在进行这类环境系统规划时，不确定性优化模型已成为重要的工具.目前处理不确定性线性规划的方法主要包括随机线性规划(stochastic linear programming，SLP)、模糊线性规划(fuzzy linear programming，FLP)和区间线性规划(interval linear programming，ILP)[3-6]，并在水资源管理、水质管理、固废管理和水库管理等领域得到了广泛应用[7-9].然而，SLP和 FLP模型的构建需要大量的数据来确定其参数的概率密度函数或隶属度函数，且算法复杂，多数将原模型转换为非线性优化问题，从而制约着两类模型的应用[9-11]；与之不同的是，ILP模型只需要对参数的上下界做出估计即可，因而被广泛应用于数据信息量不足的情况[12].

所谓的ILP模型，是指其中部分或全部参数以区间的形式来表示模型的不确定性. 1966年，Moore提出了区间分析方法，随后逐步衍生出区间目标规划、区间分式规划、区间整数规划和区间对偶线性规划及其相应的分解算法和分支定界算法等多种 ILP方法[13].20世纪 90年代以来，Inuiguchi等[14]、Sengupta等[11]则考虑目标函数参数(C)为区间数，提出相应的ILP模型；Tong[15]提出了综合考虑所有区间参数的ILP模型及Best-and-Worst Case(BWC)算法，得到 2个极端最优解；为了给决策者提供一个连续的解空间，Huang等[16]提出了新的 ILP，并先后提出其耦合模型，进一步扩充了 ILP方法体系；在此基础上，周丰等[17-18]在偏序集合范畴内先后提出了改进区间、强化区间(enhanced interval，EI)不确定性方法，其中对强化区间线性规划(enhanced interval linear programming，EILP)方法进行了严格的数学证明，并提出了EILP的两阶段分解算法，其与传统 ILP模型相比，EILP能够把不确定性直接反映在优化过程中，提供目标函数的期望值及决策过程的非极端解，并且能确保最终解空间的绝对可行性[19].

随着社会经济的发展，流域内的资源和环境系统受到了越来越大的外界胁迫，湖泊污染和生态退化已成为目前我国面临的重要生态环境问题，加强流域内的资源、生态和环境管理，探索湖泊流域水污染防治的创新模式，合理安排水污染控制与生态恢复等技术，已经成为湖泊流域管理的战略性问题[20]．对此，不确定性优化模型(SLP，FLP，ILP)也逐步应用于湖泊流域管理中[2，17，19-21]，但在决策过程中仍缺少对决策风险与系统收益之间关系的分析，很难在解空间中选择可行并符合实际的方案．

笔者将 EILP模型应用于四川邛海流域管理中，构建了流域环境系统管理 EILP优化模型，给出使系统成本最低的区间优化决策结果、目标期望值以及风险决策方案，对制定合理的流域环境系统水污染防治管理对策具有重要的理论和实践意义.

1 强化区间线性规划模型

1.1 EI不确定性的定理及模型构造

基本思想：针对强化区间不确定性变量与参数，在偏序集合范畴内给出目标函数的适宜区间AI±及期望值；通过分解 EILP为 2个子模型，将不确定性直接体现在优化框架中；强调第1个子模型实现不确定性系统内最优性，第2个子模型则强调解空间绝对可行下的最优性.首先要通过定义和定理从理论上确定 EILP模型的建模基础，下文给出几个重要定理内容，详细证明及其他相关定理参见文献[18-19].

定理 1 设当 j = 1 ,2,… ,k ，则 c+j≥ 0 ，其他则满足 c+j＜0 .对于 EILP模型而言，包含 E [ Z±]的 EI目标函数定义为“适宜区间(AI±)”，AI±显著地降低了强化区间目标函数(enhanced interval objective function，EIOF)的不确定度.相应的上下限定义为

式中AI+和AI−分别为AI±的上下限.

依据定理 1，基于适宜区间AI+的 EILP模型的一般形式可以表示为

强化区间变量AI±即目标函数的不确定度定义为

定理 2 当目标函数最大化时，为了保障 EILP的最优解optX±绝对可行，在求解AI−的过程中需增加如下额外约束，即

其中，δ满足

1.2 EILP模型的求解方法

基于上述定理，给出EILP模型的2阶段分解法(以最大化为例)，将EILP模型转换成2个交互式的子模型．第1个子模型(AI+及其约束条件)为

可以得到解 A I+、 x+( j = 1 ,2,… ,k )和 x−optj,optj,opt( j = k + 1 ,k + 2 ,… ,n )．通过这些解，建立第 2个子模型(AI−及其约束条件)为

求 解 得 到 A I−、 x−( j = 1 ,2,… ,k )和 x+optj,optj,opt( j = k + 1 ,k + 2 ,… ,n )，从而得到强化区间最优解，如式(4)所示．EILP模型的构建与求解框架如图 1所示.

图1 EILP模型的一般框架Fig.1 General framework of EILP model

1.3 EI不确定性下的风险决策分析

首先给出改进区间线性规划(modified ILP，MILP)模型的一般形式，其与 EILP模型的差别在于目标函数，即

同样，求解Z−的过程中需要增加如定理 2所述的额外约束条件，MILP模型的最优解定义为

强化区间不确定性参数包括 A±、B±和C±．MILP模型能够表征这3个参数不确定性下的2个极端风险决策方案optZ±；其中，optZ+为解空间绝对可行情况下的最优系统收益，但对应着约束不满足的最大风险水平(A±，B±，C±)；optZ−为最劣的系统收益，但对应着约束不满足的最小风险水平(A±，B±，C±)．EILP模型能够表征2个参数(A±和B±)下的极端风险决策方案AI±；其中，AI+为解空间绝对可行情况下的最优适宜系统收益，但对应着约束不满足的高风险水平(A±，B±)和目标参数(C±)的中等风险水平；AI−为解空间绝对可行情况下的最劣适宜系统收益，但对应着约束不满足的低风险水平(A±，B±)和目标参数(C±)的中等风险水平．此外，EILP模型还能求解出目标函数期望值 [ ]E Z±，即解空间绝对可行情况下的系统期望收益，但对应着约束不满足的中等风险(A±，B±)，因此表征 A±和B±不确定性下的非极端风险决策方案．在强化区间不确定性水平下的 7类风险决策方案形式如第3.4节所述.

2 案例研究

2.1 研究区域背景

邛海是四川第二大湖泊，地处西昌市，流域面积307.67,km2，位于 102°07′～102°23′E 和 27°47′～28°01′N 之间(图 2).邛海流域以山地为主，为断陷盆地地形，海拔 1,507～3,263,m.该流域雨量充沛，干湿季分明，年降雨量为 1,004.3,mm，平均年蒸发量1,945,mm.在流域经济发展的同时，也给邛海带来了新的压力，入湖污染物总量激增，水质出现一定程度的恶化和富营养化趋势[21-22]．

图2 邛海流域及其20个子流域划分Fig.2 Lake Qionghai watershed and the 20 sub-watersheds

2.2 邛海流域管理EILP模型

将污染控制的时段设定为 2006—2020年，整个流域区划为20个子流域(图2).对于资金短缺的当地政府部门，邛海流域管理的重点是在保证水质改善的前提下实现水污染综合防治的投资成本与运行成本最小化.对邛海而言，磷P是其富营养化的限制性因子，因此以P的削减和邛海环境容量约束为重点.此外，根据邛海总磷TP多年平均浓度分布，湖体的西北部TP浓度最高，需要对子流域Ⅰ1、Ⅰ2、Ⅱ6、Ⅱ7和Ⅵ20制定强制性的TP最小削减率.邛海流域以农业、林业和旅游业为主，区内无大的城镇，流域内基本上没有工业，且出于对邛海保护的需要，地方政府对现存工业采取了严格的搬迁和限排措施，因此不考虑工业废水的 P排放，将生活污水、农业面源、水土流失作为邛海的入湖P负荷源；其他约束主要考虑耕地面积、生活污水处理率以及农村污染物处理率等，各项约束需满足不同时期国家和地方对该湖泊水质的各项影响因素的要求．

1)目标函数

方案总投资(包括初始投资成本与维护成本)最小，即

2)约束函数

TP的环境容量约束为

耕地面积约束为

生活污水处理率约束为

农村污染物处理率约束为

土壤侵蚀量约束为

坡耕地(＞25°)治理面积约束为

森林覆盖率约束为

重点子流域的最低削减程度为

河道生态恢复约束为

湖滨带生态恢复约束为

子流域污染治理规模约束为

技术约束为

式中：Xi±jk为第 i个子流域内第j种措施在第k阶段的新增规模，m3/d或 ha；i为子流域；j为工程方案类型；k为时期； j = 1 为中度侵蚀水土流失治理，j= 2 为强度侵蚀水土流失治理， j = 3 为剧烈侵蚀水土流失治理， j = 4 为人工湿地，j = 5 为污水处理厂，j= 6 为农业面源污染控制工程， j = 7 为退耕还林，j= 8 为农村污染控制工程， j = 9 为缓冲带建设，j= 1 0为自然湿地恢复和湖滨带建设；aij为工程方案j在子流域i的适宜性因子，1代表适合，0代表不适合；IIC±jk为方案 j在阶段k时的单位投资成本，106元；ASC±jk为方案j在阶段k时的单位维护成本，104元；TPDi±为子流域i的 TP排放总量，t/a；APR±j为方案 j对 TP的单位削减量，t/ha或 t/(m3·d)；TLAQ为目前耕地面积，3 187.2 ha；TWDi±k为子流域i在k阶段的污水排放量，m3/d；TRWi±k为k阶段的农村污染物排放量，m3/d；RLS±jk为需要采用方案 j的土壤侵蚀类型在k阶段的最低治理率；TLSij为子流域i内需要采用方案 j的水土流失面积，ha；TSLi为坡耕地(＞25°)面积，ha；FLAi为子流域i内森林面积，ha；RFL±i为子流域i内森林覆盖率远期目标值(k＝3)；TLAi为子流域i的面积，ha；TRE为设计的河道缓冲带面积，58.77,km×30,m＝176,ha；TLR为设计的湖滨带生态恢复面积，361.9,ha.该模型的参数主要来自文献[17，22]，根据最近研究对部分参数做了微小改动，涉及参数众多，由于篇幅有限，只列举出部分参数数据，如表1所示.

3 结果与讨论

3.1 优化方案与最优投资分析

在此仅对解的解译结果进行简要描述.由经过EILP模型优化得到的3个阶段10个方案在20个子流域的规模ijkx±可以看出，在不同阶段各子流域的实施方案规模有明显的差异．中度、强度和剧烈侵蚀水土流失治理工程( 1 j= 、 2j= 和 3j= )主要于1、3阶段在子流域 3、4、5、6和 11实施，人工湿地( 4j= )在子流域8、9和10的第1阶段实施，而污水处理厂主要于第 1阶段在子流域 20投资新建，其规模为[16 446，21 477],m3/d.农业面源污染控制工程( 6j= )没有得到应用.退耕还林工程( j= 7 )和农村污染控制工程( j= 8 )在大部分子流域得以应用，且在第 1阶段子流域 11的应用规模最大，分别为[55.5，59.2]ha和[5,975，7,224] m3/d.方案9和10则分别在第1阶段实施，其中子流域 2和 20的规模分别为[140.8，158.4] ha和289.5,ha.

不同阶段污染治理的优化投资结果如图3所示，表 2给出了不同工程方案在 3个阶段的优化投资及不同阶段投资汇总.结果显示，各方案的投资多集中在第1阶段，且第1阶段的工程方案总投资成本约占81.9%，其中对污水处理厂( j= 5 )、农村污染控制工程( j= 8 )、自然湿地恢复和湖滨带建设( j= 1 0)及水土流失的治理( j=1, 2, 3)的投资最高.

图3 不同阶段污染治理的优化投资Fig.3 Optimal costs in different periods of pollution treatment

由图 4可见，不同子流域的投资也有很大的差异.子流域 11、20的投资最大，分别占到流域总投资的[11.37%，11.65%]和[39.46%，41.36%]，主要是因为农村污染物产生量 T RW11k较大以及对子流域 20的最小强制TP削减比例所引起的.

3.2 最优TP削减量分析

表 2所示为不同阶段实施各方案的最优 TP削减量，由汇总的各阶段 TP削减量可知，随时间逐渐增加，最终达到[22.25，24.39] t/a的削减能力.在10个方案中，污水处理厂( 5j= )、人工湿地( 4j= )、农村污染控制工程( 8j= )和中度侵蚀水土流失治理( 1j= )工程的 TP削减量较高，其中污水处理厂( 5j= )削减能力达到[7.25，9.04] t/a.

由图 5来看，子流域 3、8、9、10和 20在整个规划阶段中 TP削减量相对较大，为[74.7%，76.9%]，其中子流域 20在各阶段的削减量最大，这与对子流域20的TP强制削减率有关.

图4 3个阶段各子流域的投资结果Fig.4 Optimal costs of the sub-watershed in three periods

表2 不同阶段各污染治理方案的投资与TP削减量Tab.2 Optimal costs and TP reduction of ten pollution control strategies in three periods

图5 3个阶段各子流域的TP削减量Fig.5 Optimal TP reduction of the sub-watershed in three periods

3.3 EILP与MILP模型结果的差异性分析

EILP最优目标值optAI±的不确定度相对MILP模型的目标值optZ±更小，且趋向期望值 [ ]E Z±，同时也能保证解空间绝对可行．此外， [ ]E Z±和AI±仅与A±和B±所形成的可行域有关．通过 EILP模型求解，得到最优的总投资期望值为 E [ Z±] = ( AI++ A I−)/2=5.56× 108元 ，其 适 宜 区 间 值 为AI±= [ 5.15× 108,5.98× 108]元，不确定度为UD=14.93%.

同样，用 MILP方法对同一案例进行计算．首先构建MILP模型，其目标函数为约束条件与 EILP相同，通过 MILP模型求解得到的结果与文献[17]中的计算结果略有差别，总投资为Z±= [ 3.77× 1 08,7.56× 1 08]元，不确定度UD = 6 6.9%(文 献[17]中 Zo±pt= [ 6.20× 1 08, 11.48× 1 08]元 ，UD=59.7%)，主要是由于部分参数取值的改变所引起的，也正好验证了文献中所描述的模型系数的不确定性程度直接影响着最优解的范围这一特征，本文是在同一参数体系下用2种模型进行计算的，得到的结果具有可比性.

显然，与MILP模型相比，EILP模型计算结果的不确定度更低，趋向于目标函数期望值85.56 10×元，能够为后续决策过程提供非极端区间范围.

3.4 邛海流域管理风险决策方案

根据第 1.3节提出的风险决策分析方法，EILP模型通过解空间的分解实现不同风险水平下的决策方案，给出表征A±和B±不确定性下的非极端风险决策方案，而 MILP只给出表征 3个参数(A±，B±，C±)不确定性下的2个极端风险决策方案.EI不确定性下的7个风险决策方案如下所述．

(1) 高风险水平下的极端决策

对应的目标函数值为 Z−= 3 .765× 1 08元．

(2) 低风险水平下的极端决策

对应的目标函数值为 Z+= 7 .556× 1 08元．

(3) A±和 B±为高风险水平、C±为中等风险水平下的极端决策

(4) A±和 B±为低风险水平、C±为中等风险水平下的极端决策

(5) 中等风险水平下的非极端决策

(6) A±和 B±为中高风险水平、C±为中等风险水平下的非极端决策

对应的目标值介于 A I−= 5 .15× 1 08元和 E [ Z±] = 5 .56×

opt108元之间．

(7) A±和 B±为中低风险水平、C±为中等风险水平下的非极端决策

对应的目标值介于 E [ Z±]opt= 5 .56× 1 08元和AI+=5.98× 108元之间.

显然，随着风险水平的提高，流域生态系统管理成本有所降低.因此，邛海流域管理决策要综合考虑成本和违反环境约束的风险，在系统管理成本和生态效益之间找到平衡点，在保证水质改善的前提下尽可能降低投资成本与运行成本.

4 结 语

EILP模型作为 ILP和 MILP模型的拓展，具有计算时间短、效率高、把不确定性直接反映在优化过程等优点，同时能够在保证解空间绝对可行的情况下，给出 EI目标函数的适宜区间AI±及期望值E[ Z±].将其应用于邛海流域环境系统管理优化中，构建了邛海流域环境系统管理 EILP模型，相比 MILP模型的计算结果，其目标函数的不确定度更低，能够为后续决策过程提供非极端区间范围，并在此基础上进行了邛海流域管理风险决策分析，证实了 EILP的有效性和实用性.分析结果显示，实现邛海流域环境系统的管理目标，抑制邛海流域富营养化的程度，保证 TP环境容量和重点子流域的削减程度约束是十分重要的，优化模型给出的区间解为流域管理决策者提供了多种替代方案，决策者可根据实际情况，选取较为满意和适宜的决策方案，此外，决策者还可根据可接受的环境风险水平选择不同的环境-成本权衡方案，在有限资金的前提下实现相关措施的时空优化布局，可有效预防水质和富营养化程度的进一步恶化，恢复健康的水环境系统结构与功能，并促进流域尺度上的环境生态质量改善与社会经济的可持续发展.

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