含非均匀结构量子波导中6支振动模中的声子输运和热导

龚志强，罗勇锋, ，贺梦冬

(1. 中南林业科技大学 数学物理研究所，湖南 长沙，410004；2. 中南大学 粉末冶金研究院，湖南 长沙，410083)

近年来，人们深入研究了低维体系中电子的输运性质[1-2]。低维体系中与电子的输运性质相类似的热输运性质也受到越来越多研究者的关注。当温度趋近于 0 K时弹性声子热导应该是量子化的，其值为(其中，kB为玻尔兹曼常数，h为普朗克常数，T为热力学温度)，且该值与一维量子线的几何细节无关。若低维量子结构的特征尺寸小于声子的平均自由程，则声子被一支支离散的振动模所输运，量子器件的结构以及尺寸对声子输运和热导起了至关重要的作用。为了深入理解声子输运以及热导在低维体系中的特点，很多研究者研究了各种具有不光滑连接[5-9]、粗糙表面[10]、结构缺陷[11]和凸凹结构[12-15]的纳米结构以及硅纳米线[16]、石墨带[17-20]、碳纳米管[21-22]和一维链[23]热输运性质。在极低温度下，声子输运与热导由6支最低的振动模(包括4支声学模(即膨胀模、扭转模、2支弯曲模)和2支光学模(或2支剪切模))提供。由于计算模拟困难，大多数研究者集中对二维结构的SH波和一维结构的膨胀波进行研究，对其他5支振动模的研究较少。Rego等[3]研究了各种量子结构中最低膨胀模的输运性质与热导的特点；Tanaka等[24]进一步研究了 6支最低的振动模在catenoidal形纳米结构中的热输运特点；Peng等[25]修正了最低的膨胀模与扭转模在一维量子体系中的色散关系。研究结果表明：最低的4支声学模的截止频率应为0 Hz，且与结构的几何外形无关。在此，本文作者研究含非均匀散射结构的量子线中6支最低弹性声子模的输运系数与热导性质，比较由最低6支振动模所提供的热输运性质的不同特点。

1 理论模型和公式

非均匀结构示意图如图1所示，其材料设为GaAs,弹性模量和密度 ρ分别为 12×1010N/m2和 5.317 6 t/m3。区域Ⅰ是温度为T1的热库，区域Ⅲ是温度为T2的热库；区域Ⅱ是声子的散射区域。假设温度差 δT很小(δT=T1-T2＞0), 在计算中可以用平均温度 T(即(T1+ T2)/2)代替区域Ⅰ，Ⅱ和Ⅲ中的温度。在弹性散射近似下，热导表达式可以写成：

其中：τm(ω)为热库Ⅰ的第m支模经过区域Ⅱ后进入热库Ⅲ的透射系数；ωm为第m支模的截止频率；。计算热导的中心问题是计算声子的输运系数6支最低振动模的运动控制方程以及对应的色散关系如下。

图1 非均匀结构示意图Fig.1 Diagram of uneven structure

1.1 膨胀模

膨胀模的运动控制方程为：

式(3)表明：最低膨胀模的截止频率与散射区域的形状无关且总为0 Hz，是声学模。

1.2 扭转模

扭转模的运动控制方程为：

其中：C为一维量子线中位置x处的扭转刚度；∂θ/∂x为由于沿一维量子线方向温度变化引起的角位移梯度；I(x)为量子线中位置x处扭转力矩。假设角位移为平面波，将平面波代入式(4)可得扭转模的色散关系为：

式(5)表明：最低扭转模的截止频率为0 Hz与结构无关，扭转模为声学模。

1.3 弯曲-剪切模

根据Timoshenko-Goofier原理，若不考虑重力的影响，一维量子线在z方向或者y方向相对中心平面的位移w(z)或者w(y)是剪切力与弯曲力矩的耦合引起的。考虑到剪切模与弯曲模的耦合作用，w(z)或者w(y)相对 x的斜率 ∂w ( z)/∂x 或者 ∂w ( y)/∂x 由弯曲影响对应的位移ψ和剪切影响引起的位移γ组成。据Timoshenko-beam原理，在y方向的运动控制方程可写成：

其中：G为剪切系数；κ为调整系数，与横截面的形状有关，若横截面为矩形，则调整系数为0.833。假设w(y)和ψ(y)为平面波，其值分别为：

将式(8)和(9)代入式(6)和(7)，可得平面波的振幅比率为：

解方程(6)，(7)和(10)，可得方程的色散关系为：

其中：k(y)-是y方向的截止频率为0 Hz时的声学弯曲模式；k(y)+是y方向的截止频率为的剪切模式；I(x,y)为 y方向的力矩惯量，其值为

类似地，可以求得z方向弯曲-剪切模的运动控制方程。z方向的力矩惯量为量子点结构x坐标处的横向宽度。

为了求得每支振动模通过非均匀散射区域的输运系数，将非均匀散射区域沿x方向分成很多具有相同横截面的小矩形，根据位移ψ和应力在各界面处连续的边界条件，利用散射矩阵方法即可求出膨胀模输运系数。类似地，根据角位移和扭矩在各界面处连续的边界条件求出扭转模输运系数。根据相对量子线中心平面的横向位移、剪切应力、角位移、弯曲力矩在界面处连续的条件，可求出弯曲-剪切模的输运系数。

2 数值结果和分析

图2所示为6支最低振动模的输运系数随频率的变化关系。从图2(a)～2(d)可见：对于理想的量子线，由于不存在不均匀散射结构对声子的散射影响，6支最低弹性声子模的输运概率总为 1；当ω→0时，即使存在非均匀散射结构，4支最低声学模输运概率也都趋于 1。这是由于这些低频声学声子的波长远大于非均匀散射结构的尺寸，结构对声子的散射非常小，声子可以在散射区域中自由输运。随着非均匀散射结构半径的增加，非均匀散射结构对声子的散射也随着增强，同时，散射声子与入射声子相互作用，导致声子的输运曲线呈现不规则的峰-谷结构，透射曲线振荡越来越严重。比较4支最低声学声子的透射谱发现：在低频区域，非均匀散射结构对扭转模的散射较强；随着入射声子频率的增加，非均匀散射结构对压缩模以及y方向的弯曲声学模的散射较强。数值模拟结果表明：y方向的弯曲-剪切模的输运系数与散射区域非均匀散射结构联系紧密，非均匀散射结构的散射导致这些声子的透射谱出现剧烈振荡行为；而z方向的弯曲-剪切模的透射谱受结构的影响很小且接近于1。这是由于研究的量子点结构在 z方向是一致厚度，而 y方向结构外形为非均匀散射结构。从图2(e)～2(f)可见：2支光学模的透射谱存在不一致的大于0 Hz的截止频率。这是由于 y与 z方向的光学模分别存在与的截止频率，而y方向的光学模的截止频率小于z方向光学模的截止频率，从而导致这 2支光学模的透射谱的起振频率不一致。

图2 膨胀模、扭转模、y方向声学弯曲模和z方向声学弯曲模、y方向剪切模和z方向剪切模的输运概率随频率的变化Fig.2 Relationship among transmission and ω corresponding to dilatational mode, torsional mode, acoustic-flexural mode in y direction and acoustic-flexural mode in z direction

图3 约化热导随温度的变化关系Fig.3 Relationship between thermal conductance and temperature

图4 声学弯曲模的约化热导随温度的变化Fig.4 Relationship between acoustic-flexural mode and temperature

为了进一步研究低温下4支最低声学模对热导的贡献，研究了4支声学单模的热导随温度的变化，结果如图4所示。从图4(a)和4(d)可以看出：对于压缩模与z方向的声学弯曲模，不管波导结构参数的数量级是微米级还纳米级，当温度趋近于0 K时，都存在数值为 4 π2T /(3h)的量子化热导平台；而随着温度的增大，高频声学声子被激发，由于非均匀散射结构对高频声学声子的散射不能忽略，导致声子热导平台被破坏，被下降的热导曲线所代替；随着波导结构数量级从微米级向纳米级发展，非均匀散射结构对声子的散射减弱，导致量子化热导平台增长。从图4(b)和4(c)发现：当波导结构的数量级在微米级时，对于扭转模与y方向的声学弯曲模，即使温度下降到10-4K，也不能观察到量子热导现象。要观察到量子热导现象，需要更低的温度。而随着随着波导结构尺寸数量级从微米级过渡到纳米级，当温度趋近于0 K时，这2种模式在温度较低时能观察到量子化热导现象。这些研究表明：在低温下，当热导为4倍量子化热导的出现与结构尺寸的数量级密切相关；当结构尺寸的数量级从纳米级向微米级发展时，4倍量子热导平台很难被观察到。这主要是扭转模与y方向的声学弯曲模的热导量子化难以实现的结果。

当结构尺寸为纳米级时，约化热导以及各单模热导随温度T的变化关系如图5所示。从图5可见：对于理想的量子线，当温度趋近于0 K时，存在数值为4倍量子热导 4 π2T /(3h)的理想量子平台，这是由被激发的 4支最低声学模各自提供热导量子值π2T /(3h)的结果；随着温度的增大，2支剪切模被激发，总的热导随温度的增加而单调增加。若理想量子线中存在量子点散射区域，则热导平台由于量子点结构对声子的散射而被破坏，被下降的热导曲线所代替。由于结构对声子的散射程度随着量子点半径的增大而增强，热导曲线随着量子点半径的增加而下降得越严重。然而，当温度趋近于0 K时，热导量子平台仍然存在。这是由于长波长声学声子波长远大于纳米结构尺寸，结构对声子的散射可以忽略。从图 5(b)可见：单支声学模的热导随着温度的变化表现不同的热导行为；扭转模对量子点散射区域最敏感，热导下降的幅度也最大，而z方向的声学弯曲模由于一致厚度结构对它散射很小而导致其热导值接近量子热导π2T /(3h)；当温度趋近0 K时，4支声学模的热导曲线存在4个理想的量子热导平台(其值为 π2T /(3h))。而对于剪切模，由于存在大于0 Hz的截止频率，当温度趋近0 K时，热导由于这2支剪切模没有被激发而热导为0 W/(m2·K)；随着温度的增加，剪切模被激发，热导随着温度的增加而单调增加。由于存在不相等的截止频率，导致2支剪切模的热导激发温度不一致，从而导致这2支剪切模的热导曲线不重合。

图5 约化热导与各单模随温度的变化Fig.5 Relationship among thermal conductance, single thermal conductance and temperature

图6 约化热导和单模热导随半径的变化Fig.6 Relationship among thermal conductance, single reduced thermal conductance and radius

在一定温度下，约化热导随非均匀散射结构半径的变化关系如图6所示。从图6(a)可见：当温度很低时，约化热导随半径的变化很小。这是由于在极低的温度下仅仅长波长声波被激发；随着温度的升高，更多波长较短的声学波被激发，导致非均匀散射结构对声子的散射增强，从而引起热导随半径的变化更加明显。从图6(b)～6(d)可见：在不同温度下，各支单模的热导随半径的变化而变化；当温度很低且非均匀散射结构半径与波导结构接近时，存在理想的量子热导平台；随着结构尺寸的增加，结构尺寸对声子的散射增强，热导平台被下降的热导曲线所代替。从图6(b)可见：低温下扭转模的热导下降最快，这是由于当温度很低时，仅仅低频声学声子被激发，而在4支声学模中，结构对低频区域扭转模的声子散射最大。比较图6(b)，6(c)和6(d)可见：随着温度的增加，压缩模与y方向的弯曲声学模对半径的依赖更明显。这是在高频区域，非均匀散射结构对这2支模的散射大于其他声学模的散射所致。

3 结论

(1) 利用散射矩阵方法研究了低温下与 6支最低弹性声子模相关的输运概率与热导性质。当入射声子的频率趋近于0 Hz时，4支最低的声学声子模的输运概率与结构参数无关，且都接近于 1；而它们的高频声子与结构参数密切相关，且表现不同的输运性质。

(2) 量子波导中低温下热导为 4 π2T /(3h)的4倍量子热导平台以及各声学振动模的热导为π2T /(3h)量子热导平台与波导结构数量级以及非均匀散射结构的结构参数密切相关，各单模的热导与结构参数以及温度密切相关且表现不同的热导行为。

(3) 在低温下，扭转模的热导受非均匀散射结构影响最大；随着温度的增大，膨胀模与y方向弯曲声学模的热导受非均匀散射结构影响最大。2支剪切模由于截至频率大于0 Hz而导致热导在温度趋近于0 K时为0 W·m2/K；随着温度的增加，2支剪切模热导单调增加。

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