含下有界非线性项的一类特征值问题解的存在性
2012-07-23韩开山刘宝芳
韩开山,刘宝芳
(中北大学理学院,山西太原030051)
本文考察下列三阶三点非线性特征值问题解的存在性与多解性
于是M≥0.非线性三阶三点边值问题
受姚庆六和Henderson等人研究的启发[1-3],本文在非线性项f下有界的情况下(因而允许f取负值),利用锥拉伸与锥压缩型的Krasnosel′skii不动点定理处理三阶三点非线性特征值问题(P)并获得一些新的存在性与多解性的结论.本文主要工作是对文献[1] 的结果进行改进和推广,主要思想来自论文[1-3] .
1 引理
显然g:[0,1] ×(-∞,+∞)→[0,+∞)连续.
考察三点边值问题
其中ω0(t)=λMt(t2-3t+6η-3η2).注意到
引理1 ω*是问题(P)的解当且仅当=+ω0是问题(P′)的解.证明 必要性:设ω*是问题(P)的解,则满足ω*‴(t)=λf(t,ω*(t))且ω*(0)=ω*′(η)=ω*″(1)=0,这样
所以ω*是问题(P)的解.
设齐次方程ω‴(t)=0,0≤t<1在问题(P)中边界条件下的Green函数为G(t,s)[4],即
显然G(t,s)>0,(t,s)∈(0,1)×(0,1).经计算
其中
众所周知,算子T的不动点即为问题(P′)的解.
引理2 T:K→K是全连续的.
证明 设ω∈K,那么Tω∈C([0,1] ,[0,+∞)),因为(Tω)‴(t)=λg(s,ω(s)-ω0(s))≥0,0≤t≤1,(Tω)″(t)在[0,1] 上是一个递增函数,因为(Tω)″(1)=0,有(Tω)″(t)≤0,0≤t≤1,因此Tω是一个凹函数,即对任意t1,t2,γ∈[0,1] ,
因为(Tω)(0)=0,存在t0∈[0,1] ,使得(Tω)(t0)=‖Tω‖.利用Tω的凹性,
若t0=1,可得(Tω)(t)≥‖Tω‖t≥‖Tω‖min{t,1-t},t∈[0,1] ;
从而(Tω)(t)≥‖Tω‖min{t,1-t},t∈[0,1] ,所以(Tω)(t)≥‖Tω‖{t,1-t}=σ‖Tω‖.
从而T:K→K且由Ascoli-Arzela定理可知T是全连续的.
引理3 (锥拉伸和锥压缩型的krasnosel′skii不动点定理)[5-6]
设E是Banach空间,K⊂E是E中的锥,假设Ω1及Ω2是E的开子集,0∈Ω1,且⊂Ω2,T:K∩→K是全连续算子.如果以下两条件之一成立:
(ⅰ)‖Tu‖≤‖u‖,∀u∈K∩∂Ω1且‖Tu‖≥‖u‖,∀u∈K∩∂Ω2;
(ⅱ)‖Tu‖≤‖u‖,∀u∈K∩∂Ω2且‖Tu‖≥‖u‖,∀u∈K∩∂Ω1.
对于l>0,本文采用下列记法:
还需下列极限:
2 主要结果
下面给出本文的主要结果并且列出如下假设:
(H1)f(t,ω(t)):[0,1] ×(-∞,+∞)→(-∞,+∞)连续且下有界,
(H2)M=-min{inf{f(t,l):(t,l)∈[0,1] ×(-∞,+∞)},0},
(H3)ψ∞>0,φ0<∞且<
(H4)φ0>0,ψ∞<∞且<
定理1 假设(H1)-(H3)成立,则对任意λ∈,非线性特征值问题(P)至少有一个解.
令Ω1={ω∈K:‖ω‖<R1},当ω∈∂Ω1,0≤ω(s)≤R1,有
令Ω2={ω∈K:‖ω‖<R2},当ω∈∂Ω2,σR2≤ω(s)≤R2,α≤t≤β,
利用引理2及引理3,算子T有一个不动点,即问题(P′)有一个解∈K,再根据引理1知ω*=-ω0为问题(P)的解.
定理2 假设(H1)、(H2)、(H4)成立,则对任意λ∈,非线性特征值问题(P)至少有一个解.
令Ω4={ω∈K:‖ω‖<R4},当ω∈∂Ω4,σR4≤ω(s)≤R4,α≤t≤β,g(s,ω(s)-ω(s))≥ψ(R)≥R,044
所以
利用引理2及引理3,算子T有一个不动点,即问题(P′)有一个解∈K,再根据引理1知ω*=-ω0为问题(P)的解.
当λ=1时,有如下结果:
定理3 假设(H1)、(H2)成立,且存在两个正数a,b使得φ(a)≤aA,ψ(b)≥bB,则问题(P)至少有一个解ω*满足ω*+ω0∈K并且min{a,b}≤‖ω*+ω0‖≤max{a,b},此外,若
证明 因为A<B,容易看出a≠b,记Ωa={ω∈K:‖ω‖<a},Ωb={ω∈K:‖ω‖<b},如果ω∈∂Ωa,则0≤ω(s)≤a,0≤t≤1,于是,0≤g(t,ω(t)-ω0(t))≤φ(a)≤aA,0≤t≤1,则
如果ω∈∂Ωb,则σb≤ω(s)≤b,α≤t≤β,于是,g(t,ω(t)-ω0(t))≥ψ(b)≥bB,α≤t≤β,则
利用引理2及引理3,算子T有一个不动点,即问题(P′)有一个解∈K,且a≤‖‖≤b,再根据引理1我们知ω*=-ω0为问题(P)的解.
定理得以证明.
定理4 假设(H1),(H2)成立,且存在三个正数a<b<c使得下列条件之一成立:
证明 仅证(ⅰ),因为ψ:[0,+∞)→[0,∞)连续,知存在a<b1<b<b2<c使得ψ(b2)>b2B并且ψ(b1)>b1B,这样分别对于{a,b1},{b2,c}使用定理3可推出所需的结论.
定理5 假设(H1)、(H2)成立,且存在四个正数a<b<c<d使得下列条件之一成立:(ⅰ)φ(a)≤aA,ψ(b)>bB,φ(c)<cA,ψ(d)≥dB,
(ⅱ)ψ(a)≥aB,φ(b)<bA,ψ(c)>cB,φ(d)≤dA
证明 仅证(ⅰ),因为ψ:[0,+∞)→[0,∞)连续,φ:[0,+∞)→[0,∞)连续,知存在
a<b1<b<b2<c1<c<c2<d使得ψ(b2)>b2B并且ψ(b1)≥b1B,φ(c1)<c1A,φ(c2)≤c2A,这样分别对于{a,b1},{b2,c1},{c2,d}使用定理3可推出所需的结论.
[1] 姚庆六.On the existence of positive solution for a nonlinear third-order three-piont boundary value problem[J] .东北数学,2003,19(3):244-248.
[2] 姚庆六.含下有界非线性项的一类弹性梁方程解的存在性与与多解性[J] .应用数学学报,2004,27(1):117-122.
[3] Henderson J.Positive solutions for nonlinear eigenvalue problems[J] .J.Math.Anal.Appl,1997,208:252-289.
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[6] 钟承奎,范先令,陈文源.非线性泛函分析引论[M] .兰州:兰州大学出版社,1998.