应用MATLAB研究带电粒子的摆线运动——兼对一幅2011年高考试题插图的商榷

朱国强

（浙江绍兴市第一中学，浙江 绍兴 312000）

2011年福建高考试题第22题是一道新颖的考题.

题1.如图1（甲），在x＞0的空间中存在沿y轴负方向的匀强电场和垂直于xOy平面向里的匀强磁场，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B.一质量为m、电荷量为q（q＞0）的粒子从坐标原点O处，以初速度v0沿x轴正方向射人，粒子的运动轨迹见图1（甲），不计粒子的重力.

（甲）

图1

（1）求该粒子运动到y＝h时的速度大小v；

（2）现只改变入射粒子初速度的大小，发现初速度大小不同的粒子虽然运动轨迹（y－x曲线）不同，但具有相同的空间周期性，如图1（乙）所示；同时，这些粒子在y轴方向上的运动（y－t关系）是简谐运动，且都有相同的周期

Ⅰ.求粒子在一个周期T内，沿x轴方向前进的距离s；

Ⅱ.当入射粒子的初速度大小为v0时，其y－t图像如图1（丙）所示，求该粒子在y轴方向上做简谐运动的振幅A，并写出y－t的函数表达式.

分析：该题以带电粒子在匀强电场和匀强磁场的正交叠加场中的运动为基本情景，考查了力和运动关系，包括受力分析、运动分析、牛顿运动定律以及动能定理等主干知识.命题者对该题的命制意图主要是考察学生的理解能力、推理能力、临场接受新知识的能力、应用数学知识解决物理问题的能力.由于设问角度巧妙，知识补充到位，即使没有竞赛训练背景的学生也有可能解决该题，能力立意较高.

该题暗含匀速直线运动，明示简谐运动，因顾及中学教学的实际，没有直接指出粒子到底做什么运动.理论推导可知，该带电粒子实际上做摆线运动.

摆线是数学中最迷人的曲线之一.物理中可以这样定义：一个圆轮，沿一直线做纯滚动，轮上一定点P所经过的轨迹称为摆线，又叫滚轮线.设圆轮半径为R，取一条直线为x轴，再设P点与圆心点的距离为r，起始时刻P点位置在y轴上，θ为圆轮转过的角度.当圆轮做纯滚动时，P点的运动看作是随圆心沿x轴前进距离Rθ的直线运动与绕圆心转过角度θ的圆周运动这两者的叠加，写出方程x＝Rθ－rsinθ，y＝R－rcosθ.假设圆轮是做匀速率滚动，角速度为ω，则θ＝ωt.P点运动的参数方程为x＝Rωtrsinωt，y＝R－rcosωt.

运用Matlab软件绘制摆线运动轨迹如图2所示.

图2

由图2可知，P点的轨迹，有4种情况，依次为长幅摆线、普通摆线、短幅摆线、直线.（1）P点在动圆外，r＞R，P点的轨迹为长幅摆线，如图2中r＝1.5所指示；（2）P点在轮缘上，r＝R，P点的轨迹为普通摆线，如r＝1所指示；（3）P点在动圆内，r＜R，P点的轨迹为短幅摆线，如r＝0.5所指示；（4）P点在圆心，r＝0，P点的轨迹为平行于x轴的直线，如r＝0所指示.

再观察图1，不符合摆线的特征：（1）拱宽2πR，（2）普通摆线和短幅摆线，拱高≤2r.故该题图1所示的图线不是摆线，值得商榷.

下面首先证明该带电粒子在题设条件下做摆线运动，再用计算机绘制相关图像，并提出对图1的修改建议.

1 理论推导

设匀强电场场强为E，沿y轴负方向，匀强磁场磁感应强度为B，沿z轴负方向.带电粒子质量为m，带电荷量为q，q＞0，t＝0时从原点以初速度v0沿x轴入射，求带电粒子运动的速度、轨迹.

解析：对带电粒子进行受力分析，电场力为

磁场力为

根据牛顿第二定律得，x方向上有

y方向上有

由（1）、（2）式得

代入（2）式得

带电粒子运动的位置坐标为

由（5）、（6）式化简得

2 计算机作图

2.1 程序

运用Matlab软件绘制该带电粒子运动轨迹的程序如下.

2.2 模拟

运行结果如图3所示.图中动圆的半径R＝10，拱宽为2πR＝62.8.

图3

（ii）当k＝0，即v0＝0时，为普通摆线，这是大部分中学试题的命题情景——初速为0；

3 修正建议

带电粒子在匀强电场、磁场中运动ZGQSTUDIO

图4

2010年以前，以带电粒子在正交的电磁场中的运动为情景的高考试题，大多数取粒子初速为0，即k＝0，v0＝0，如2008年江苏高考试题14题.

题2.在场强为B的水平匀强磁场中，一质量为m、带正电q的小球在O点静止释放，小球的运动曲线如图5所示.已知此曲线在最低点的曲率半径为该点到x轴距离的2倍，重力加速度为g.求：

（1）小球运动到任意位置P（x，y）的速率v.

（2）小球在运动过程中第一次下降的最大距离ym.

（3）当在上述磁场中加一竖直向上场强为E（E＞mg／q）的匀强电场时，小球从0点静止释放后获得的最大速率vm.

简析：该高考试题属于初速v0＝0的情景，只是把竖直向下的电场力换成重力，小球做普通摆线运动.拱高h＝2R，拱宽L＝2πR，所配插图是普通摆线，比较科学.

4 几种解法

应用高等数学微积分解题超过大部分中学生的认知能力和认知要求.高考命题者根据应用高等数学推出的结果，采用等效思维的方法，把需要用高等数学解决的物理问题，降解为能够用初等数学进行解释或理解的问题.下面对题1提供几种解法.

图5

（2）Ⅰ.解法1：由图1（乙）中间的直线可知，设粒子恰好沿x轴方向做匀速运动，设速度大小为v1，则qv1B＝qE.又据题意可知，所有粒子具有相同的空间周期性，即在一个周期T内沿x轴方向前进的距离相同，即都等于恰好沿x轴方向匀速运动的粒子在T时间内前进的距离即s＝v1T，式中，解得

Ⅱ.解法1：设粒子在y方向上的最大位移为ym［图1（丙）曲线的最高点处］，对应的粒子运动速度大小为v2（方向沿x轴）.

对粒子，在y方向做简谐运动，振幅为A.

在y＝0处，qv0B－qE＝kA；

在y＝ym处，qE－qv0B＝kA.所以

从y＝0到y＝ym处过程中，由动能定理有

解法2：该带电粒子的摆线运动可以看作两个运动的合成，一个是沿x方向的速度为的匀速直线运动，另一个是速率为的匀速圆周运动振幅A＝R.写出y－t的函数表达式y＝R－代入初始条件t＝0时，y＝0，得φ＝0，故y

总之，带电粒子在正交的的匀强电场和匀强磁场中的运动是中学物理教学的一个难点，是各省高考、高校自主招生、物理竞赛命题的一个焦点.深入理解带电粒子的摆线运动对中学教师的教学和中学生的学习都有裨益.

1 佘守宪，唐莹.浅析物理学中的摆线（摆线）.大学物理，2001（6）.

2 朗道.场论.北京：人民教育出版社，1959.

3 叶兵.带电粒子在正交电磁场中运动问题的初步研究.物理教学探讨，2007（11）.

4 朱国强.高中物理培优基础教程.杭州：浙江大学出版社，2010.301

5 胡建新.带电粒子在正交恒定电磁场中运动状态的分析.大学物理，2004（4）.