Al-Cu-Mg-Ag合金强度性能的支持向量回归预测

唐江凌， 蔡从中， 皇思洁， 肖婷婷

（重庆大学应用物理系，重庆 401331）

Al-Cu-Mg-Ag系铝合金是在2000系合金的基础上通过提高合金化元素纯度和改变合金元素含量以及利用新的时效工艺发展起来的。因为具有较高的强度和热稳定性，Al-Cu-Mg-Ag系铝合金是航空航天工业上很有发展潜力的中温高强材料，具有广阔的应用前景。目前，国内外新型Al-Cu-Mg-Ag合金已经从机理研究进入实际应用开发阶段［1～5］。

力学性能是铝合金的一个极其重要的性能指标，而抗拉强度、屈服强度则是铝合金材料力学性能的主要参数。因此，在生产铝合金的工艺过程中，通过建立加工工艺参数与合金力学强度关系的预测模型，对于准确估计该铝合金的力学性能具有十分重要的指导意义。然而，由于加工过程中各工艺参数与合金力学强度之间呈现出高度的非线性特性，传统的预测模型很难精确地描述它们之间的复杂关系。因此，一些新的建模方式，如偏最小二乘（PLS）、反向传播人工神经网络（BPNN）等方法被用来建立铝合金的力学性能预测模型［6，7］。尽管这些方法能较好地预测铝合金的力学性能，但它们的预测精度还不够高，泛化能力也不够理想。所以，进一步探索和寻求更加准确、有效的理论预测方法很有必要。

支持向量机（Support Vector Machines，SVM）是20世纪90年代由Vapnik等［8］提出的一种新的机器学习方法。它是在统计学习理论（Statistical Learning Theory，SLT）的VC维理论和结构风险最小化（Structure Risk Minimization，SRM）准则基础上，由给定的有限样本信息，对经验风险和泛化性能进行折中，以得到最佳的训练和泛化性能。近几年SVM在其理论研究和算法实现方面都取得了突破性进展，并逐渐成为克服“维数灾难”和“过学习”等传统困难的有力工具，在分类和回归分析领域得到了广泛应用［9-15］。当SVM用于回归预测时，又被称为支持向量回归（Support Vector Regression，SVR）。

本研究利用文献［7］报道的Al-Cu-Mg-Ag铝合金在不同的时效工艺下的强度实验数据集，应用基于粒子群优化（Particle Swarm Optimization，PSO）算法进行参数寻优的SVR方法，对该铝合金的强度性能进行建模和预测研究，并与文献［7］报道的应用神经网络预测结果进行比较。

1 原理和方法

1.1 支持向量回归原理

设样本集为（x1，y1），…，（xm，ym）（xm∈Rn是n 维输入变量，y∈R是相应的输出变量，m为样本个数），寻找一个输入空间到输出空间的非线性映射Φ（x），通过该映射，将样本集中的数据x映射到高维特征空间F，并在特征空间F中用下述线性函数进行拟合，即:

式中w是回归系数向量，b是阈值。由于Φ固定不变，因此影响w的是经验风险的总和以及使其在高维空间平坦的 w2，即:

上两式中，R（C）为风险泛函，Lε（f（xi）-yi）是损失函数，C是惩罚因子，ε是误差。为了控制函数的复杂性，应使线性回归函数尽量平坦，并考虑可能超出精度的回归误差，引入松弛因子ξ*和ξ以处理未满足（3）式的数据点。根据统计学习理论的结构风险化准则，SVR通过极小化目标函数R（w，ξi，ξ*i）来确定（1）式中的w和b:

上式 R（w，ξi，）中第一项是使回归函数更为平坦，泛化能力更好，第二项则为减少误差，惩罚因子C是一个常数，且C＞0，用来控制对超出误差ε的样本的惩罚程度。为求w和b，建立拉格朗日方程:

要使（5）式取得最小值，对于参数w，b，ξi，ξ*i的偏导都应等于零。即:

代入（5）式，可以得到对偶优化问题:

由此，支持向量机的函数回归问题就可以归结为对偶优化问题（7）。求解该对偶优化问题，可以得到用训练样本点表示的w:

式中 αi和是最小化R（w）的解。由此可求得线性回归函数:

式中k（x，xi）=Ф（x）·Ф（xi）为核函数。选择不同形式的核函数就可以生成不同的SVR回归模型。常用的核函数有:径向基函数、多项式函数、感知器函数、线性函数等。本工作采用径向基函数（10）来建立SVR回归模型:

1.2 支持向量回归参数的粒子群算法寻优

由于SVR回归模型的泛化性能很大程度上依赖于不敏感损失函数ε、误差惩罚因子C和核函数参数γ等3个参数。因此，对（ε，C，γ）参数进行寻优是十分关键的。本研究采用PSO算法来寻找最优组合参数（ε，C，γ）。

PSO 是由 Eberhart和 Kennedy［16］模拟鸟群的飞行捕食行为而于1995年提出的一种高效多维并行寻优算法。设群体中的每个粒子由3维参数向量（ε，C，γ）组成，第 i个粒子在3维解空间的位置为ui=（ui1，ui2，ui3）T，其速度为 vi=（vi1，vi2，vi3）T，当前时刻的个体极值记为 pibest，全局极值记为 gbest。在每次迭代中，粒子跟踪个体极值、全局极值和自己前一时刻的状态来调整当前时刻的位置和速度，迭代公式如下:

式中v（t），v（t+1），u（t）和 u（t+1）分别是粒子在当前时刻、下一时刻的速度和位置;rand（）是［0，1］之间的随机数;c1和c2是学习因子，通常取为2;ω是权重因子，为加快收敛速度，其值应随算法迭代的进行而自动调节，一般定义为:

式中ωmax和ωmin分别为最大和最小权重因子，它们的值一般分别取为0.9和0.4。iter为当前迭代次数，itermax为总的迭代次数。为了直接反映SVR模型的回归性能，选用均方根误差（RMSE）作为适应度函数:

式中m是训练样本数，yi和^yi分别是第i个训练样本目标量的实测值和预测值。

2 SVR回归模型的建立

2.1 时效参数下的Al-Cu-Mg-Ag合金强度性能实测数据集

文中所用Al-Cu-Mg-Ag合金成分如表1。对合金的工艺处理方式见文献［7］。实验数据共27组，是在时效状态的每个时效时间点取两片Al-Cu-Mg-Ag合金试样，等时效完毕后再测量试样在室温下的抗拉强度和屈服强度，取其平均值（详见表2）。

2.2 模型的建立

为了与文献［7］中神经网络方法的预测效果进行直接比较，本研究也采用实验数据集中的前25个样本进行建模，并将后两组（第26和27组）样本作为测试样本用于检验模型的预测能力。其中，时效温度、时效时间两个工艺参数作为模型的输入变量，抗拉强度和屈服强度两个力学性能量为输出变量。

2.3 模型预测性能的评价

采用平均绝对误差（MAE）、平均绝对百分误差（MAPE）对所建模型的预测性能进行评价:

在式（15）和式（16）中n是检验样本数，yj和^yj分别是第j个检验样本的实测值和预测值。

表1 实验合金成分Table 1 Composition of Al-Cu-Mg-Ag alloy

表2 实验数据Table 2 Experimental data

3 结果分析与讨论

表3列出了BP神经网络模型和SVR模型的预测结果。由表3可见，无论是抗拉强度还是屈服强度，SVR模型的预测结果都更接近于实测值。这表明SVR模型的预测精度高于BP神经网络模型，可以用于Al-Cu-Mg-Ag合金强度性能的预测。表4对比了BP神经网络模型和SVR模型二者预测值的平均绝对误差MAE和平均绝对百分误差MAPE。表中数据显示，SVR模型的MAE和MAPE都分别小于BP神经网络模型。这进一步说明，SVR模型具有更高的预测精度，更好的泛化能力，是一种更有效的预测、分析手段。

表3 BP神经网络模型和SVR模型的预测结果比较Table 3 Comparison of predicted result between BP neural network and SVR

表4 BP神经网络模型和SVR模型的预测性能比较Table 4 Comparison of prediction between BP neural network and SVR

4 结论

（1）Al-Cu-Mg-Ag合金力学性能与时效温度和时效时间关系密切。随着温度升高，合金抗拉强度和屈服强度达到峰值时效的时间变短;随着时间加长，合金抗拉强度和屈服强度下降。

（2）支持向量回归方法对Al-Cu-Mg-Ag合金强度性能的预测非常有效，其准确程度超过BP神经网络，可以用于Al-Cu-Mg-Ag铝合金时效过程中工艺参数与强度性能的关系的预测和分析。

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