基于窗函数的NLFM波形设计及脉压性能分析

贠亚男， 张文希，许明圣

（1. 平顶山工业职业技术学院，平顶山 467001；2. 长沙学院 电子与通信工程系，长沙 410003;3. 河南平高电器股份有限公司，平顶山 467001）

0 引言

线性调频（LFM）、相位编码以及非线性调频（NLFM）是现役脉冲压缩体制雷达中常用的脉压波形[1-2]。其中，线性调频和相位编码波形在匹配滤波器输出端具有较高的旁瓣，实际应用中尽管可通过加权处理降低旁瓣影响，但会造成压缩波形的主瓣展宽以及信噪比损失。而NLFM波形则无需进行加权操作，可通过设计和改变发射信号的频谱特征，在匹配滤波压缩输出端获取较低旁瓣的同时，能够有效避免因加权处理而引入的信噪比损失，在雷达和声纳等信号处理领域具有较好的应用前景[3～7]。基于窗函数的波形综合法是NLFM波形的主要设计方法[5]，本文通过分析和对比几种基于经典窗函数设计的NLFM波形的脉压性能，得出了一些有益的结论，为NLFM波形的实际应用提供参考。

1 NLFM波形设计方法

设NLFM波形具有如下表达形式：

式（3）中w(f) 即为窗函数，根据一维距离模糊函数的方法并运用驻留相位原理得：

其中，T(f)为群延时函数，而f(t)则为信号频率，系群延时函数的反函数，即f(t)=T-1(f)。

基于窗函数设计NLFM波形需要首先确定窗函数W(f)，其次通过式（3.b）求出j"(f)，进而积分求出j'(f)，再由式（3.a）得到群延时函数T(f)，然后经反函数运算得到f(t)，最后代入式（3.c）经积分得到相位函数q(f)，最终获得NLFM波形m(f)。

2 典型窗函数及脉压分析

2.1 典型窗函数及群延时

1）矩形窗

矩形窗函数也称为门函数，对应了LFM波形的设计，其可表示为：

其中，B为信号的调制带宽，其群延时函数为T(f)=f。

2）海明窗

海明窗函数为：

3）余弦四次方窗

余弦四次方窗函数以及对应的群延时函数可分别表示为：

4）高斯窗

高斯窗函数一般表达式为：式中, K为常数因子，其群延时函数为T (f) = 2B/函数。

2.2 脉压分析

本节抛开冗长的脉压公式推导，利用信号与线性系统的基本知识理解脉冲压缩。矩形窗的频谱对应的是辛格函数，即：

其中，rect和FFT分别表示矩形函数和傅里叶变换，而Sa(×)为辛格函数。

由式(3)可知，不考虑多普勒频移时，脉压时接收信号与参考信号在频域共轭相乘后，其相位谱可近似为一常数，幅度谱则对应窗函数，即NLFM信号脉冲压缩时的频域具有窗函数形式W(f )。因此，脉压最终归结到对窗函数的逆傅里叶变换上，与时域矩形窗支撑区长度(时宽)不同，该频域矩形窗支撑区用带宽来衡量，其有效长度会大大增加。当频域窗W(f )为矩形窗时，对照式(8)并根据对偶原理，可知脉压的时域输出为：

其中，IFFT为逆傅里叶变换。

FFT与IFFT在形式上是一致的，辛格函数的主瓣宽度取决于窗函数的有效支撑宽度，宽度越大，分辨率越好。受多种因素（如近端盲区，多普勒模糊等）限制，脉冲体制的发射信号时宽不可能太大，而通过频率调制，窗函数的有效支撑宽度拓展到频域后会成几何递增。在相同脉冲宽度条件下，LFM和NLFM信号带宽相比传统简单波形会大大提高，故距离分辨率更优。而进一步，在相同带宽的条件下，LFM比NLFM脉压后的主瓣宽度会窄，这是前者的频域窗有效支撑宽度相对较大造成的。

由式（9）知，频域矩形窗反变换到时域同样为辛格函数。进一步，当W (f )不为矩形窗时，如海明窗，等效于对矩形窗作了加权处理，此时频域窗类似于“钟形”，由于NLFM脉压时频域窗的有效支撑宽度变小，反变换到时域后会使旁瓣降低，同时主瓣会有所展宽。而根据能量守恒定律，主瓣展宽后能量主要集中到主瓣区域，相应地旁瓣能量则会显著降低。但NLFM波形脉压后的窄主瓣和低旁瓣设计是互为矛盾的，在信号设计和实际应用时要根据需求折中考虑。

3 仿真实验

为验证各种窗函数设计的NLFM的脉压性能及其一般规律，下面用以3.1节给出的窗函数进行仿真。仿真参数为：脉冲宽度t=20us，信号带宽B=10MHz，采样频率fs=20MHz，高斯窗中的常数K=23.5。

3.1 窗函数及时频曲线

图1为四种窗函数的比较图，各窗对应的有效支撑区间长度由矩形窗到高斯窗逐渐减小。由3.2节的脉压分析，可初步推理出脉压后的主瓣宽度会逐渐增大。计算各窗函数的群延时函数到时频函数的变换，涉及到反函数求解，很难写出显示表达式，需要用到数值计算，本文采用样条插值方法进行时间等间隔重采样，通过插值可以反求出等间隔时间对应的频率值。需注意的是，该方法只在频率和时间一对一对应的条件下才适合，目前所设计的NLFM都满足该条件。

图1 四种窗函数

3.2 脉压输出及性能分析

根据各窗函数的时频曲线得到相应NLFM信号。图2给出了所设计信号的脉压输出，其中矩形窗对应的LFM调频信号的脉压结果，显然NLFM信号具有更低的旁瓣。图3(a)和图3(b)分别为脉压输出的主瓣局部放大和旁瓣局部放大图，不难看出：尽管NLFM具有较低的旁瓣，但是以主瓣展宽为代价的。表1定量比较了脉压后信号的-4dB主瓣宽度和峰值旁瓣比（第一旁瓣与主瓣峰值比）。由图3和表1可看出，设计的四种发射信号随着窗函数有效支撑区间的减小，其主瓣宽度呈递增趋势，而第一旁瓣幅度呈递减趋势，这与3.2节的分析是相吻合的。

图2 脉压输出

图3 局部放大结果

表1 脉压结果对比分析

4 结束语

本文从矩形窗函数的（逆）傅里叶变换视角入手，分析了NLFM的设计及脉压性能。分析指出，

相对传统简单波形的时域窗，LFM和NLFM的频域窗函数有效支撑区长度的增加（即带宽增大）是获得距离高分辨的关键，这与现有分辨率理论是一致的，随着支撑区长度的缩小，NLFM波形主瓣展宽。但是有效支撑区仅反映了NLFM设计中一个因素，若要得到性能优越的NLFM波形，必须对群延时函数施加更多的限制，如平滑性，曲率等，这将是下一步研究的方向。

[1] 林茂庸, 柯有安. 雷达信号理论[M]. 北京: 国防工业出版社, 1984.

[2] T. Collins and P. Atkins. Nonlinear frequency modulation chirps for active sonar[J]. IEE Proceedings, Part F,1999,146(6): 312-316.

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