关于遗传可遮和遗传σ-亚紧可数乘积的注记

赵斌,李秀玲,官春梅

(喀什师范学院数学系,新疆喀什 844007)

关于遗传可遮和遗传σ-亚紧可数乘积的注记

赵斌,李秀玲,官春梅

(喀什师范学院数学系,新疆喀什 844007)

证明了在逆序列的情形下,可遮空间、强可遮空间在假设X是可数仿紧空间的条件下可被其极限空间保持,进一步证明了遗传可遮,遗传强可遮及遗传σ-亚紧性在无需对投射及极限空间X做任何假设的情况下即可被其逆极限空间保持.作为上述两个结果的应用,分别给出了两个相关的可数Tychonoff乘积定理.

逆序列；可数仿紧；可遮；强可遮；遗传可遮；遗传σ-亚紧

1 引言及预备

正规性及覆盖性的乘积性质的研究是拓扑学中重要的研究方向,通过逆系统的极限性质研究正规性及覆盖性的乘积性质是一个有效的方法[1-4].在假设逆极限空间X是κ-仿紧的通常条件下,注意到关于可遮及强可遮性逆极限保持问题仍未得到完全解决[5-7].此外,文献[8-9]利用散射分解,σ-点有限开膨胀分别给出了关于遗传可遮及遗传σ-亚紧的刻划,并利用这些刻划研究了遗传可遮及遗传σ-亚紧乘积性质,得到了如下的结论.

定理A[8-9]设是遗传可遮的(遗传σ-亚紧的),则X也是遗传可遮的(遗传σ-亚紧的).

针对可遮及强可遮性逆极限问题,本文将证明在逆序列的情况下,可遮及强可遮性在通常的可数仿紧条件下能够被其逆序列的极限空间所保持.同时对遗传可遮、遗传强可遮及遗传σ-亚紧的逆极限性质也进行了讨论,可以看到甚至在无需对投射及极限空间X做任何假设的情况下,遗传可遮、遗传强可遮及遗传σ-亚紧即可为其逆序列的极限空间所保持,作为这一结果的推论,可直接推导出定理A的结论.

本文所有的拓扑空间简称为空间,除非特别指出所有空间不附加任何分离条件,所有映射均为连续映射.若X为一拓扑空间且A⊂X,|A|表示集合A的基数.设A是空间X的子集族且x∈X,记

ω表示自然数集或最小无限基数.文中未提及的概念及符号见文献[10-11].以下的定义是大家熟知的,重述如下:

定义1.1设X为空间.

(1)设κ为无限基数,称X为κ-仿紧的,如果对X的每个势不超过κ的开覆盖有局部有限开加细.

特别地,称X为可数仿紧的,如果对X的每一可数开覆盖有局部有限开加细.

(2)称空间X是可遮的(强可遮的),如果X的每个开覆盖有σ-互不相交(σ-离散的)的开加细.

(3)称空间X是遗传可遮的(遗传强可遮的),如果X的每一个子空间是可遮的(强可遮的).

(4)称空间X是σ-亚紧的,如果X的每个开覆盖有σ-点有限的开加细.

(5)称空间X是遗传σ-亚紧的,如果X的每一个子空间是σ-亚紧的.

设Λ为有向集,称集族U={Uα|α∈Λ}是定向上升的,如果对任意的α,β∈Λ且α≤β,有Uα⊂Uβ.

设X,Y为拓扑空间且f:X→Y为满射.如果对满足f-1(y)⊂U的任一y∈Y及X中的任一开集U,有y∈int(f(U)),则称f是伪开映射.

易看出满开映射及满闭映射均为伪开映射.

以下引理是证明定理时需要的.

引理1.1[1]设X是κ-仿紧空间,Λ为有向集且|Λ|=κ,U={Uα|α∈Λ}为X的开覆盖且是定向上升的,则存在X的定向上升的开覆盖V={Vα|α∈Λ}使得对任意的α∈Λ,有

关于遗传性质,易知

引理1.2(i)空间X是遗传可遮的当且仅当X的每一个开子空间是可遮的；

(ii)空间X是遗传强可遮的当且仅当如果X的每一个开子空间是强可遮的；

(iii)空间X是遗传σ-亚紧的当且仅当X的每一个开子空间是σ-亚紧的.

引理1.3空间X是可遮的当且仅当对X的任意开覆盖U={Uα|α∈Λ},存在σ-互不相交的开覆盖

证明充分性是显然的,下证必要性.

若X是可遮的,对X的任意开覆盖U={Uα|α∈Λ}(不妨设Λ是良序的),存在U的σ-互不相交的开加细W=∪n∈ωWn,对任意的n∈ω及α∈Λ,令

2 可遮,强可遮逆序列的极限及其乘积

在κ-仿紧的通常假设条件下,可遮、强可遮的逆极限是否可被其极限空间保持这一问题尚未解决[5-7].下面的定理说明在逆序列的情形下,假设极限空间是可数仿紧空间时,可遮、强可遮性可被其逆序列的极限所保持.

因此,由引理1.5知,X是可遮空间.

仿照文献[4]定理3的处理方法,利用定理2.1可得到关于可遮、强可遮性的一个具有可数无限因子的乘积定理.

(i)可遮；(ii)强可遮.

3 遗传可遮,遗传强可遮,遗传σ-亚紧逆序列的极限及其乘积

本节将证明在逆序列的情形下,遗传可遮、遗传强可遮性和遗传σ-亚紧性甚至在不需要对投射及极限空间X做任何假设的情况下即可为其逆序列的极限所保持.利用这一结果可以得到关于遗传可遮、遗传强可遮和遗传σ-亚紧的一个关于具有可数无限因子的乘积定理.

定理3.1设X为逆序列{Xi,,ω}的极限空间.若每一Xi具有下列性质,则X也具有相应的性质.

(i)遗传可遮；(ii)遗传强可遮；(iii)遗传σ-亚紧.

因此,G是σ-亚紧的,X是遗传σ-亚紧空间.

类似定理2.2的处理方法,利用定理3.1可以得到下列关于遗传可遮,遗传强可遮,遗传σ-亚紧的可数Tychonoff乘积性质.

(i)遗传可遮；(ii)遗传强可遮；(iii)遗传σ-亚紧.

注意到定理3.2事实上是文献[8-9]的主要结论,是定理3.1的直接推论.

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[4]Zhao Bin.Inverse limits of spaces with the weak B-property[J].Math.J.Okayama Univ.,2008,50:127-134.

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[6]熊朝晖.正规可遮空间的逆极限[J].数学进展,1998,27:541-545.

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[8]Zhu Peiyong.Hereditarily screenableness and its Tychonoff products[J].Topology and its Applications. 1998,83:231-238.

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[11]Yasui Y.Generalized Paracompactness[M]//Topics in General Topology.New York:Elsevier Science Publishing Company,1989.

Note on countable products of hereditarily screenability and hereditarily σ-metacompactness

Zhao Bin,Li Xiuling,Guan Chunmei

(Department of Mathematics,Kashi Teacher′s College,Kashi844000,China)

In the case of inverse sequence,the screenability and strongly screenability can be preserved by the inverse limit spaces under the usually assumption of countable paracompactness of inverse limit spaces.Furthermore the hereditarily screenability,hereditarily strongly screenability and hereditarily σ-metacompactness can be preserved by the inverse limit spaces even without any assumption of the projections and the inverse limit spaces.As some applications,two theorems about countable Tychonoff product properties are given.

inverse sequence,countable paracompact,screenability,strongly screenability,hereditarily screenability,hereditarily σ-metacompact

O189.11

A

1008-5513(2012)04-0427-06

2012-02-08.

新疆维吾尔自治区高等学校科研计划重点项目(XJEDU2008I31).

赵斌(1966-),教授,研究方向：一般拓扑学及其应用.

2010 MSC:54B10,54D20,54E18