四元数分析中正则函数的非线性带位移边值问题

鄢盛勇

(四川教育学院数学系,四川成都 611130)

四元数分析中正则函数的非线性带位移边值问题

鄢盛勇

(四川教育学院数学系,四川成都 611130)

研究了四元数分析中正则函数的一类非线性带位移的边值问题.首先研究Cauchy型积分的一个性质,进而设计积分算子,将边值问题转化为积分方程问题,借助积分方程理论和Schauder不动点理论证明了边值问题解的存在性,并给出了解的积分表达式.

四元数分析；正则函数；非线性；带位移边值问题

1 引言

四元数分析是近代分析的重要分支,它有非常重要的理论意义和应用价值,如在Maxwell方程,Yang-Mill场理论以及量子力学等方面都应用它的一些结论[12].近年来国内外许多学者研究了四元数分析中的一些奇异积分算子,并考虑了其中一些边值问题[311],在这些工作的基础上,本文借助参考文献[12-18]处理实Clifford分析中正则函数、双正则函数、广义双正则函数、超正则函数以及双曲调和函数等函数类的非线性带位移边值问题的处理方法,讨论了有界域上正则函数的一类非线性带位移的边值问题,从而改进了文献[6]中正则函数Riemann边值问题的结果.

2 预备知识

赋范的可除代数只有四种:实数,复数,四元数,八元数.高维函数论有另一个重要分支即Clifford分析[1219].虽然与Clifford分析有很多相似,但是四元数分析并不是Clifford分析的特例[6].用ℂ2表示四元数空间,设D是ℂ2中一有界区域,其边界∂D=S是一光滑曲面.记Cβ(S)为有界H¨older连续函数所构成的函数集,其H¨older指数为β(0＜β＜1),定义范数:

3 问题的提出与转化

定义3.1设D是ℂ2中一有界区域,其边界∂D=S是一光滑曲面.记

这样求边值问题A的解就转化成了求积分方程(8)的解.

4 问题A的解的存在性

为了研究Cauchy型积分的性质,仅要求积分曲面光滑是不够的.下面设S是光滑定向的Liapunov曲面,γ为其Liapunov曲面常数.按其定义,对于S内任意点t,以t为中心,γ(或小于γ的正数)为半径的超球把S分成两部分,它们分别位于超球内外,并且与过t的法线相平行的直线和S在超球内部分的交点不超过一个.以t为原点建立局部坐标系,ξ4轴放在沿S在t点处外法线上,设S包含在超球内的部分为S1,则S1的方程可表示为ξ4=ξ4(ξ1,ξ2,ξ3).记S1在t点切平面内的投影区域为π1,又设S1上任意点ζ处外法线为n,并记r=|ζ-t|,以ρ表示r在过t的切平面上投影的长度.引进局部球面球坐标ρ,θ1,θ2,易知变换的Jacobi行列式:

故根据(19)和(20)式,不管哪种情况都可得:

所以F是映射HM到自身的连续映射.根据Arzela-Ascoli定理知,HM是连续空间C(S)中的紧集.因此连续映射F映射C(S)中的闭凸集HM到自身,并且F(HM)也是C(S)中的紧集.再利用Schauder不动点定理知,至少存在一个φ0∈Cβ(S)适合奇异积分(8),将φ0代入(1)式得函数Ψ(z)则为问题A的解,所以问题A至少存在一解,并且(1)式为其解的积分表达式.

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A nonlinear boundary value problem with a shift for regular function in quaternion analysis

Yan Shengyong

(Department of Mathematics,Sichuan College of Education,Chengdu611130,China)

A Class of nonlinear boundary value problem with a haseman shift for regular function is considered in quaternion Analysis.First,we get a property of Cauchy-type integrals.Second,we give some integral operators and transform the problem into an integral equation problem.Applying Schauder fixed-point theorem, we prove the existence of solution for the problem,and give the representation of solution.

quaternion analysis,regular function,nonlinear,boundary value problem with a haseman shift 2000 MSC:30G20

O175.27

A

1008-5513(2012)04-0475-08

2011-07-10.

四川省教育厅重点项目(09ZA091)；四川省教育厅科研基金(10ZC127)；

四川教育学院院级科研重点项目(CJYKT10-011).

鄢盛勇(1975-),硕士,讲师,研究方向：函数论的边值问题.