基于共轭梯度算法的EIT仿真

2012-07-05侯雪王超刘準

长春理工大学学报（自然科学版） 2012年4期

侯雪，王超，刘準

（1.天津大学自动化学院，天津 300072；2.天津轻工职业技术学院，天津 300350；3.中储粮油脂有限公司，天津 300350）

电阻抗断层成像（EIT）作为一种独特的医疗成像技术，根据不同生物组织特性、相关物理参数及其变化的分布，反映目标的生理、病理状态［1］。通过配置于目标断层外围的电极阵列向断面施加安全电流，对目标域进行无创激励，在体外测量电极响应电信号以重建人体内部的电阻抗特性分布变化的图像［2］。是一种理想并具有广泛应用前景的医学成像技术。

由生物体模型内部的阻抗分布及边界激励信号，求物体内部或表面的电压和电流分布，是EIT正问题［3］。正问题求解是利用给定的边界条件和阻抗分布模型求解拉普拉斯方程：

σ为目标内部的电导率分布；φ0为给定边界上的点位，JP是给定边界上外加激励的电流密度，无注入电流时为零。

1 有限元剖分

由于有限元法不受分析区域边界形状的限制，因此EIT中的正问题通常采用有限元方法进行求解，使用最为普遍。Comsol软件与传统编程方法相比计算耗时短，可以与Matlab对接，完成最终的图像重构，计算结论还可以通过绘图表现出来，随着剖分单元数目增加，近似解收敛于精确解。但是，模型不能无限细分，剖分越细，计算周期越长。仿真实验采用相邻电极激励、相邻电极测量的方式，根据成像对象的位置和大小不同分为三种情况，得到三种情况下圆形场域剖分疏密程度不同时，测量电极电压的变化曲线，为逆问题求解和实际测量提供依据。三种情况下测量电极电压的变化曲线如图1所示。

图1 三种情况下测量电极电压的变化曲线Fig.1 Electrode voltage curve of three Situation

从仿真结果可以看出：在三种情况下，一次细分和二次细分的结果相差并不明显，所以在实际正问题计算中，可以采用一次细分来剖分网络以节省求解时间。

2 圆形场共轭梯度重建算法研究

由表面测量电压、电流分布及边界激励信号，求生物体模型内部的阻抗分布，称之为EIT逆问题［4］。逆问题的求解也称为阻抗图像的重构。阻抗图像的重构是EIT技术的核心也是关键技术所在。本论文采用共轭梯度算法进行图像重建。

共轭梯度法最早用于解正定系数矩阵的线性方程组，克服了最速下降法收敛慢的缺点，又避免了牛顿法需要存储和计算Hesse矩阵并求逆的缺点，共轭梯度法是一个典型的共轭方向法，它的每一个搜索方向是互相共轭的，而这些搜索方向d仅仅是负梯度方向与上一次迭代的搜索方向的组合［5］。

共轭梯度算法适用于求解系数矩阵为对称正定矩阵的方程，对于非对称正定矩阵，可以对原方程进行转换，即转换成ATAx=ATb，通过正则化处理，上式转化为(ATA+λI)x=ATb，此时，系数矩阵为对称正定矩阵，可以利用共轭梯度算法进行求解。

本实验利用共轭梯度算法成像，采用100次迭代，j代表迭代次数，第一次迭代结果为A1［N］，第二次迭代结果为 A2［N］，第 j次迭代结果为Aj［N］，N为剖分单元数。随着迭代次数的增加，目标函数将收敛于极值点。这将体现在相邻的迭代结果差范围变小，为定量的表示这一变化趋势，定义

得到三种情况下100步迭代过程中的ε变化趋势曲线如图2所示。

ε然后利用作为停止迭代条件进行图像重建，图像重建结果如图3所示。

图2 ε变化趋势曲线Fig.2 The trend curve of ε

图3 圆形场的重建图像Fig.3 Reconstruction image of the round field

从仿真结果可知：ε的变化趋势在开始迭代10步左右的过程中，ε变化较大，20步之后，变化基本平稳，根据ε变化趋势迭代20步左右的ε大概在10e-10数量级，ε变化整体趋势是递减的，与理论推导一致。结果表明ε在10e-011数量级时（迭代次数在50～70次之间）重建图像效果较好。

采用ε=10e-011作为迭代停止条件，进行圆形场重建实验，针对单个成像对象进行分辨能力的评估。r为成像对象半径相对于场域半径的比值。单个成像对象图像重建结果如图4所示。

当成像对象在中心位置，r＜0.4时，图像重建结果并不理想，这说明场域中心的灵敏度较低。

采用ε=10e-011作为迭代停止条件，进行了圆形场重建实验，针对两个成像对象进行分辨能力的评估。d为两个成像对象的中心距相对于场域半径的比值。两个成像对象图像重建结果如图5所示。

当两个成像对象d＜0.4时，图像重建结果并不能对两个成像对象进行区分，两个成像对象的间距越大，成像效果相对越好。

3 基于胸部模型的仿真研究

圆形场域难以较好地模拟人体胸部的形状特性。为了使研究结果更接近真实情况，有必要建立逼近真实研究对象的模型。根据人体胸部的CT扫描图，构建胸部先验模型，心脏电导率设为0.67S/m，脊椎电导率设为0.006S/m，皮下组织电导率设为0.037S/m，为了体现肺部的呼吸过程，根据生理数据，肺部电导率在0.042～0.138 S/m范围内变化［6］。