矢量场环量强度方向特性的一种证明过程

徐慧婷，焦重庆

(华北电力大学电气与电子工程学院，北京102206)

0 引言

旋度是“电磁场”课程中一个非常重要的基本概念［1］。由于定义比较抽象且数学描述复杂，旋度这一知识点属于“电磁场”课程中的难点内容之一。通常，《电磁场》教材引入旋度的逻辑顺序为:矢量场的环量(闭合曲线积分)—环量强度(或环量面密度)—环量强度的方向特性—旋度—斯托克斯定理。其中，比较关键的就是环量强度的方向特性:环量强度可以表示成某一待定矢量(即后来的旋度)与环路法向单位矢量的点积。环量强度与旋度的关系类似于方向导数与梯度的关系。

在环量强度的方向特性上，《电磁场》教材上主要有两种论述方式:①直接陈述，不加以证明;②以斯托克斯定理为基础。

具体来说，方式①并没有证明方向特性，而是以方向特性为已知来引出旋度并求解旋度的表达式:在直角坐标系下，分别考虑与三个坐标轴相垂直的三个微小矩形回路，依据环量强度的定义分别求出上述三个特殊矩形回路下的环量强度。这三个环量强度可以分别看成旋度在三个坐标方向的三个分量，或者说，将这三个分量组合成的矢量便是旋度［2-5］。方式②以“高等数学”课程中已证明的斯托克斯定理为基础(该定理的证明不需要借助旋度的概念)，通过该定理将环量强度定义式中的环路积分转换成面积分，进而可直接得出环量强度的表达式和方向特性［6-7］。

从理解上来说，方式②是一种不错的选择，只不过它与电磁场教材中更偏好的“环量—环量强度—旋度—斯托克斯定理”逻辑顺序，即把斯托克斯定理当作旋度的后续导出内容的逻辑顺序相背而已。

笔者认为，从环量强度的定义式中难以直接看出环量强度具有上述方向特性。因此，如果仍要在形式上坚持从旋度到斯托克斯定理的逻辑顺序，就有必要给出一种关于环量强度方向特性的解释或证明过程，能从环量强度的定义出发导出任意法向方向下环量强度的表达式。一旦得出了该表达式，方向特性也就不言而喻。这类似于从标量场方向导数的定义式出发，导出任意方向的方向导数，从而发现方向导数的方向特性并进而引出梯度的概念。

本文直接从环量强度的定义式出发，针对任意给定的法向方向，通过构造正方形回路详细推导了环量强度的表达式，从而得出环量强度的方向特性和旋度的概念。本文可当作一道综合性较强的矢量分析和场论习题。

1 几何模型e

如图1所示，ABCD四点连成一个正方形。点P为正方形的中心点，点P1，P2，P3及P4分别为正方向的四条边的中心点。en为一单位矢量，其方向满足与正方形所在的平面垂直，并与有向闭合路径ABCDA成右手螺旋关系。et1为点P到点P1的连线方向的单位矢量，e12为点P到点P2的连线方向的单位矢量。此外，我们假设点P的坐标为(x，y，z)，正方形的边长为a。

按照环量强度的定义，矢量场F在点P处沿法向方向en的环量强度可表示成

图1 环量强度推导示意图

式中，Γ为矢量场F沿闭合路径ABCDA的环量。

由于环量强度是在闭合路径不断向点P收缩的情况下环量对路径包围面积的比值的极限值，因此在后续的推导中，可以假设边长a是一个很小的量，从而可以认为各条边上的矢量场值分别近似与其中心点处的矢量场值相等。进而，式(1)中的环量Γ可变形成

式中，“*”代表矢量的点积运算(下同)。

2 矢量函数的一阶近似展开

下面，我们通过一阶泰勒展开方法获得矢量场F在点P1，P2，P3及P4处的近似值。

矢量场F在点P1处的值的分量表达式为

假设 et1=cosαt1ex+cosβt1ey+cosγt1ez

由此可见，点P1的坐标可以写成

从而F(P1)的x分量可通过多元函数的一阶泰勒展开为

同理，可将F(P1)的y和z分量分别展开为

将式(4)-(6)代入式(3)中，便得到了F(P1)相对于F(P)的展开式:

同理，可得矢量场F在点P2，P3及P4处的值分别为

3 环量强度的计算公式

正方形ABCD的四条边矢量可以分别写成

将式(7)-(11)代入式(2)整理后得到

运用矢量恒等式B(A*C)－C(A*B)=A×(B×C)，可将上式中大括号内的内容变形成

其中，还用到了数学关系et2×et1=－en和矢量恒等式A×B=-B×A。

将式(13)代入式(12)后可得

运用恒等式A*(B×C)=B*(C×A)，可以将上式等号右边的三个混合积分别变成

将上式代入式(14)化简后可得

可以将上式括号内的部分定义成矢量场F的旋度，并记成

我们从上式不难得出旋度在直角坐标系下的表达式:

将式(16)代入到式(1)中，得出如下环量强度与旋度的关系:

上式表明，矢量场在空间一点处沿某一法向方向的环量强度实际上是矢量场在该点处的旋度在该法向方向上的分量，也就是所谓的环量强度的方向特性。

4 结语

本文直接从矢量场环量强度的定义出发，选用对称性好的正方形回路，给出了任意法向方向下环量强度表达式的推导过程。基于这一表达式，可以清晰地看出环量强度的方向特性，为环量强度—旋度关系的讲解和旋度概念的引入提供了一条较严格的数学途径。该推导过程运用到了矢量场的一阶近似展开及混合积公式等矢量恒等式，是一道不错的综合性矢量分析和场论练习题，可作为讨论课的教学素材。

［1］ 黄辉，张小青.“电磁场”课程的三度和旋度研究型教学例析［J］.南京:电气电子教学学报，2011，33(3):99-102

［1］ 王泽忠等著.工程电磁场［M］.北京:清华大学出版社，2011

［3］ 倪光正.工程电磁场原理［M］.北京:高等教育出版社，2009

［4］ 古恩(Guru.B.S.)等著.电磁场与电磁波(英文版)［M］.北京:机械工业出版社，2002

［5］ 杨儒贵.电磁场与波［M］.西安:西安交通大学出版社，1989

［6］ 雷银照.电磁场［M］.北京:高等教育出版社，2008

［7］ 谢树艺.矢量分析与场论［M］.北京:高等教育出版社，1978