奇异值分解故障检测法在捷联惯导中的研究＊

霍 庚 杜军波

（92941部队95分队 葫芦岛 125001）

1 引言

捷联惯导是一种自主式导航系统，它绝对保密且不受外界干扰，广泛应用于航空、航天等领域［1］。陀螺仪是其核心元件，只要给定初始信息，便可根据陀螺仪测量的角速率、加速度计测量的比力等信息，通过计算机实时地计算出各种载体姿态参数［2］。故障检测及隔离（FaultDetection and Isolation，简称FDI）［3］是保证系统正常工作的关键，只有有效地对系统故障进行诊断，然后进行故障处理，才能保证系统的正常工作。故障检测及隔离（FDI）技术是一项专门的技术，在不同的应用领域，与不同的学科相结合产生了多种故障诊断方法。惯导系统测量单元级故障分为惯性器件硬故障检测和软故障检测。对硬故障检测通常采用直接比较法，构造余度惯性仪表，以增加仪表的故障容许次数。构成余度惯性组件的器件数目要在四个以上，按一定规律配置，按仪表测量值之间的线性相关性质，列出其所有的奇偶方程式。如果所有陀螺都正常工作，则全部奇偶方程式都能满足。若出现陀螺故障，则相应的奇偶方程式便不成立。对惯性器件软故障检测采用广义似然比检测。对系统的故障作如下假设［4］：1）同一时刻仅发生一个故障；2）故障是常值型故障，即只是误差的均值发生变化而其它统计特性不变。这两点假设对大多数类型的故障是符合的。

2 SVD算法原理

对于惯性导航系统，陀螺仪和加速度计是其关键的测量元件［5］，其可靠性是整个系统中最重要的指标。如何检测惯性元器件是否发生故障？如何将检测出的故障进行隔离？本文结合惯导系统的硬故障和软故障，将采用SVD算法原理进行分析研究。

假定余度传感器的配置有m个传感器，其量测方程中仅含有噪声干扰作用，即

式中X∈Rn是待测的导航状态（加速度或角速率），Z∈Rm是m个传感器的测量值，（m≥n），H是传感器配置的几何矩阵，ε是高斯白噪声，由配置矩阵H∈Rm×n，且知rankH＝r，可知对其进行奇异值分解有

其中UU＊＝U＊U＝Im，VV＊＝V＊V＝In，∑ ＝diag｛λ1，λ2，…，λr｝，对 U 作 进 一 步 分 解 U ＝［U1U2］，Λ＝［∑ 0］TV＝Im，当系统发生故障时，其量测方程为

式中bf为故障向量，其对应的故障传感器的元不为零，其它的元均为零。

将上述分解的方程代入系统发生故障的量测方程中得

左端乘以U＊得，U＊Z＝ΛU＊X＋U＊bf＋U＊ε，

构造奇偶向量P＝U2U＊2Z＝U2（bf＋ε）

于是奇偶向量与状态变量无关，当系统发生故障时，奇偶向量不仅是噪声的函数［6］，而且是故障的函数。正是奇偶向量在噪声和无噪声时表现不一样，才使故障诊断得以实现。奇异值分解法即是由奇偶向量根据不同的原则构造了故障检测和隔离函数，来实现不同情况下的故障检测。该方法不仅能检测出单个陀螺发生的故障，而且还能检测出两个陀螺同时发生故障的情况。具体算法如下：

1）由配置矩阵H计算U2；

2）计算一个陀螺或两个陀螺同时发生故障时的参考向量f1，f2，…，fi；

3）K＝argmax（PTfi）；

3 SVD算法在惯导系统中的应用

下面以6个单自由度光纤陀螺结构为例。易知6个单自由度光纤陀螺的配置矩阵［8］：

其中s＝sinα，c＝cosα，2α＝63°26′5.8″，则

对H进行奇异值分解［9］后得到的U为

对于6个单自由度的光纤陀螺，列出一个和两个陀螺同时发生故障时对应的故障参考向量，如表1所示。其中1表示1号陀螺，（1，2）表示1号陀螺和2号陀螺。

表1 陀螺仪故障参考向量

4 仿真试验

4.1 一个陀螺故障检测

由故障检测函数服从自由度为6的x2分布［10］，给定误检率为1%，可得门限Th＝16.812。假设第一个陀螺第1000个采样点（设陀螺采样周期为10ms）时加上故障信号（假设故障信号为阶跃信号）：bf＝5（°）／s。故障检测函数图如图1所示，从图中可以看出，在第1000个点时，故障检测函数明显超出了门限Th＝16.812的值，并且一直持续，考虑到实际的导航数据采集存在一定的干扰，可以设定一时间值，若检测函数超出门限的时间大于该时间值，则判断为陀螺故障。

4.2 两个陀螺故障检测

两个陀螺同时发生故障的概率很低，但仍然有可能发生，因此，针对两个陀螺同时发生故障的情况，用SVD方法

图1 DFD1故障检测函数图

图2 DFD7故障检测函数图

进行了仿真。给定误警率a＝1%，可得门限为Th＝2.33。假设1号陀螺和2号陀螺同时在第1000个采样点（设陀螺采样周期为10ms）时发生故障，即在第1000个采样点时加上故障信号（假设故障信号为阶跃信号）：bf＝5（°）／s。对其第7个故障检测函数DFD7进行判别，如图2所示，从图中可以看出，在第1000个点时，故障检测函数DFD7明显超出了门限值Th＝2.33，并且一直持续，考虑到实际的导航数据采集存在一定的干扰，可以设定一时间值，若检测函数超出门限的时间大于该时间值，则判断为陀螺故障。由故障检测函数DFD7是1号陀螺故障向量和2号陀螺故障向量的函数［12］，可以判定要么1号陀螺或2号陀螺中一个发生故障，要么都发生故障。

采用列表法，列举故障发生前后相临的各个采样点的值，如表2所示，其中横坐标为采样点数，纵坐标为故障陀螺的检测函数。

从表2可知，故障发生后DFD7的值在第1000个采样点后均超过了门限值Th＝2.33，可以判断1号陀螺或2号陀螺发生了故障。再判断DFD1和DFD2，可知两者的值在第1000个采样点后也都超过了门限值。因此，可以肯定1号陀螺和2号陀螺均发生了故障。同时，观察表2不难发现，1号陀螺和2号陀螺突变的时间点相同，故可以判定1号陀螺和2号陀螺是同时发生故障的。

表2 陀螺仪故障采样判断表

5 结语

本文首先深入研究了奇异值分解法的基本原理，针对硬故障和软故障的不同特点，将奇异值分解法应用惯导系统中最重要的部件即陀螺仪的故障检测中，通过仿真试验获得了较好的故障检测效果。将SVD方法对惯性仪表进行有效的元件级故障检测，能快速地进行故障隔离，增强了系统的可靠性，在实际的捷联惯导系统检测中具有更加广泛的实用价值。

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