索末菲积分公式在圆柱坐标系和直角坐标系间的转换

霍晓云，雷银照

(北京航空航天大学自动化科学与电气工程学院，北京 100191）

索末菲积分公式在圆柱坐标系和直角坐标系间的转换

霍晓云，雷银照

(北京航空航天大学自动化科学与电气工程学院，北京 100191）

索末菲积分公式可用于分析电偶极子在分层媒质中产生的电磁场问题。为了研究不同坐标系下的索末菲积分公式对电磁场表达式的影响，通过坐标系的平移和旋转得到了无限大空间中电偶极子磁矢位在不同圆柱坐标系下的表达式，利用贝塞尔函数和指数函数的积分公式将磁矢位的表达式从圆柱坐标系转化到直角坐标系，在这两种坐标系中讨论了坐标系的旋转角度与磁矢位表达式的关系。通过数值算例对理论分析进行了验证。

索末菲积分公式;磁矢位;圆柱坐标系;直角坐标系

1 引言

在雷电电磁脉冲、高功率微波等电磁骚扰源激励下，输电线中可能产生电流波动;在电力线载波通信中，传输线输送工频电流的同时也传送载波电流;在特高压输电线上可能存在着电晕电流。这些电流在输电线上传输时会向空间辐射电磁波，对附近的通信、导航等设施造成电磁干扰。分析此类问题的核心是计算地面上方水平载流导体的电磁场。

地面上方时谐电偶极子的电磁场分析方法是研究水平载流导体产生电磁场的基础。20世纪初期，索末菲在分析电偶极子辐射问题时，利用傅里叶-贝塞尔积分变换推导出无穷积分表示的磁矢位［1］，以后人们将这类积分称为广义索末菲积分或索末菲型积分。广义索末菲积分是圆柱坐标系中的积分表达式，以往在分析无限大空间中电偶极子的电磁场时，通常选取圆柱坐标系的对称轴与电偶极矩同方向［2］;在分析半无限空间中水平电偶极子的电磁场时，常选取圆柱坐标系的对称轴与分界面的法向矢量同方向［3-4］。原则上，同一物理量在不同坐标系中的表达式不同，但空间同一点的数值不会因坐标系的不同而改变。研究不同坐标系下的索末菲积分公式对场量表达式的影响，在分析地面上方水平电偶极子的辐射问题时，有助于澄清圆柱坐标系的对称轴与电偶极矩不同向而产生的疑问，同时对分析架空传输线周围的电磁场具有指导作用。

本文推导了索末菲积分公式在圆柱坐标系和直角坐标系间的转换关系，在两种坐标系中分别讨论了磁矢位表达式与坐标系旋转角度的关系，通过数值算例验证了理论分析结果。目前尚未在其他文献中见过相关问题的研究。

2 无限大空间中电偶极子的磁矢位在圆柱坐标系中的表达式

2.1 无限大空间中电偶极子的磁矢位

如图1所示，以无限大空间中的电偶极子所在处为坐标原点O，建立直角坐标系Oxyz，z轴与电偶极矩的方向相同;相应的圆柱坐标系Oρφz的原点O位于电偶极子处，对称轴沿电偶极矩方向，φ角从x轴开始，沿逆时针转动为正。

图1 无限大空间中的电偶极子Fig.1 Current element in infinite space

式中，k2=ωμ(ωε－jσ）。为了方便分析常将式(1）的右端项e－jkr/r写成圆柱坐标系中的积分形式:

2.2 磁矢位在不同圆柱坐标系中的积分表达式

计算无限大空间中电偶极子的电磁场时，实际上圆柱坐标系的对称轴不必一定与电偶极矩同方向。下面通过坐标系的平移和旋转给出不同圆柱坐标系中磁矢位的积分表达式。

如图2所示，建立一个新的直角坐标系O'XYZ，其原点O'在直角坐标系 Oxyz中的坐标为 (xs，ys，zs），Z轴与电偶极矩的夹角为 α(0≤ α ＜2π），X轴与Oxyz的x轴夹角为β(0≤β＜2π）。同样以点 O'为坐标原点，建立新的圆柱坐标系 O'ρ'φ'z'，z'轴与O'XYZ的Z轴重合，φ'角从X'轴开始，沿逆时针转动为正。

根据坐标系的平移和旋转公式［5］，新旧直角坐标系的转换关系为

图2 不同坐标系下无限大空间中的电偶极子Fig.2 Current element in infinite space in different cylindrical coordinate systems

设电偶极子在新直角坐标系O'XYZ中的坐标为 (Xs，Ys，Zs），在式(4）中令 x=y=z=0，得

由式(7）可见，磁矢位表达式与坐标系的平移无关。

2.3 A'z(，，）与坐标系旋转角度的关系

分析磁矢位在圆柱坐标系中的积分表达式与坐标系的旋转角度α和β的关系。

将式(7）分别对变量α和β求偏导数，可得

根据第一类贝塞尔函数的关系式

将积分C1的表达式变形为

再利用指数函数的性质，将积分C2的表达式变形为

由索末菲积分公式容易得出C1=C2，代入式(8）和式(9）得

此式表明磁矢位在圆柱坐标系中的表达式A'z(，，BZ_208_1537_2185_1557_2241.png）与坐标系的旋转角度 α、β无关。当 α=0、β=0时，A'z=Az，即如图1所示的圆柱坐标系中磁矢位的表达式(3）是式(7）的一种特殊情况。

3 无限大空间中电偶极子的磁矢位在直角坐标系中的表达式

3.1 磁矢位的表达式在圆柱坐标系和直角坐标系间的转换

从磁矢位在圆柱坐标系中的表达式出发，推导索末菲积分公式在直角坐标系中的表达式。

已知第一类零阶贝塞尔函数［6］

式中，积分区域(0＜λ＜∞，－π＜θ＜π）可以看作是以λ为矢径、θ为极角的无限大平面。设

再利用指数函数的积分公式［7］

无限大空间中电偶极子磁矢位与索末菲积分公式仅差一个比例因子μIl/(4π），故索末菲积分公式在球坐标系、圆柱坐标系和直角坐标系间的关系为

3.2 A'z，）与坐标系旋转角度的关系

观察式(15），由球坐标系中的表达式可知，与电偶极子距离相等的空间位置处的磁矢位大小相等、与电偶极矩方向无关。而根据圆柱坐标系和直角坐标系中的表达式则无法直观得到该结论。2.3节分析了磁矢位在圆柱坐标系中的表达式与坐标系旋转角度无关，下面讨论直角坐标系中的情况。

首先分析磁矢位 A'z(，，）与坐标系旋转角度α的关系。式(14）对变量α的偏导数为

根据欧拉公式ejx=cosx+jsinx，并利用奇偶函数在对称区间上的积分性质，M1可写成

再对指数项ejbBZ_208_1537_2185_1557_2241.png利用欧拉公式，并运用积分公式［7］

可将积分M1的表达式整理为

同样地，积分M2的表达式可整理为

其次，分析磁矢位A'z(～X，～Y，BZ_208_1537_2185_1557_2241.png）与坐标系旋转角度β的关系。式(12）对变量β的偏导数为

上述分析分别在圆柱坐标系和直角坐标系中得到了与球坐标系中相同的结论:无限大空间中任意场点处的磁矢位仅与电偶极子大小和它到场点的距离有关，与电偶极矩的方向无关。

4 验证及分析

如图2所示，在无限大真空中放置一个时谐电偶极子，电偶极子参数 Il=1A·m，f=2MHz，观察点坐标x=0.5m，y=0.5m，z=0.03m。当夹角 α和β分别取不同值时，利用式(7）计算观察点处磁矢位的频域结果，见表1。

表1 不同坐标系中电偶极子磁矢位的计算结果Tab.1 Values of magnetic vector potential calculated in different cylindrical coordinate systems

虽然不同坐标系中磁矢位的表达式不同，由表1可知，忽略数值计算引入的误差，不同圆柱坐标系中的计算结果一致。

图3分别给出四种不同圆柱坐标系下磁矢位积分表达式中被积函数实部随积分变量变化的曲线。从图中可以看出，选取的坐标系不同，可能使被积函数振荡加剧、衰减缓慢，收敛性变差，从而导致计算时间增加。计算电偶极子产生的电磁场，应根据实际边值问题的情况合理地选择坐标系。

图3 不同坐标系中式(7）被积函数实部随积分变量变化曲线Fig.3 Curves of real part of integrand of Eq.(7）varying with λ in different cylindrical coordinate systems

5 结论

本文得到索末菲积分公式在圆柱坐标系和直角坐标系间的转换关系式，通过坐标系的平移和旋转给出索末菲积分公式在不同坐标系中的积分表达式，理论分析和数值验证表明当圆柱坐标系的对称轴与电偶极矩的夹角为任意角度时，求得的无限大空间中电偶极子的磁矢位均相等。这一结论可推广用于分层媒质中电偶极子产生的电磁场问题，对分析架空传输线周围电磁场具有一定的指导作用。

References）:

［1］Sommerfeld A.Partial differential equations in physics［M］.New York:Academic Press Inc.，1949.

［2］Dvorak S L.Application of the fast Fourier transform to the computation of the Sommerfeld integral for a vertical electric dipole above a half-space［J］.IEEE Transactions on Antennas and Propagation，1992，40(7）:798-805.

［3］Dai R，Young C T.Transient fields of a horizontal electric dipole on a multilayered dielectric medium ［J］.IEEE Transactions on Antennas and Propagation，1997，45(6）:1023-1031.

［4］雷银照(Lei Yinzhao）.时谐电磁场解析方法(Analytic method forthe time-harmonic electromagnetic field）［M］.北京:科学出版社 (Beijing:China Science Press），2000.

［5］《数学手册》编写组 (Compiling group of Handbook of mathematics）.数学手册 (Handbook of mathematics）［M］.北京:高等教育出版社 (Beijing:China Higher Education Press），1979.

［6］Abramowitz M，Stegun I A.Handbook of mathematical functions with formulas，graphs，and mathematical tables［M］.Washington:U.S.Government Printing Office，1964.

［7］Gradshteyn I S，Ryzhik I M.Table of integrals，series，and products，7thEdition ［M］.New York:Academic Press，2007.

Transformation of Sommerfeld integral formula between cylindrical coordinates and Cartesian coordinates

HUO Xiao-yun，LEI Yin-zhao
(School of Automation Science and Electrical Engineering，Beihang University，Beijing 100191，China）

The Sommerfeld integral formula is used to solve the electromagnetic fields produced by the electric dipole in the multilayered media.In order to study the effect of the Sommerfeld integral formula in different coordinate systems on the analytical solutions of the electromagnetic fields，the magnetic vector potential of an electric dipole in an infinite space in different cylindrical coordinate systems is derived via the translation and rotation of coordinate system.Then the expression of the magnetic vector potential is transformed from the cylindrical coordinate system into the Cartesian coordinate system by the integral formulas of Bessel function and exponential function.Subsequently the relationship between the expressions of the magnetic vector potential and the rotation angles of the coordinates are discussed.Furthermore，the numerical examples are provided to demonstrate this conclusion.The analyses in this paper are expected to be helpful to uncover the underlying mathematical meaning of the Sommerfeld integral formula and to calculate the electromagnetic field produced by the transmission line above the ground.

Sommerfeld integral formula;magnetic vector potential;cylindrical coordinate system;Cartesian coordinate system

TM15

A

1003-3076(2012）04-0001-05

2011-10-31

国家自然科学基金资助项目(50777002）

霍晓云(1981-），女，辽宁籍，博士研究生，研究方向为电磁场理论及其应用;

雷银照(1956-），男，河南籍，教授/博导，研究方向为电磁场理论及其应用、电磁无损检测方法、电气发展史。