基于自适应强引导粒子群算法的电力系统无功优化

刘丽军，蔡金锭

(福州大学电气工程与自动化学院，福建 福州350108)

1 引言

近年来多种启发式优化算法如遗传算法、Tabu算法、模拟退火算法等被用来求解电力系统无功电压优化控制问题［1－4］。改善了电力系统电压质量不稳定、电能损耗比较大的状况。但这类算法也存在容易陷入局部最优、后期搜索效率不高的问题。

许多文献验证，在同样求解精度条件下，Tabu算法可节约20%的求解时间［5］。但常规Tabu算法对初始解具有较强的依赖性，且可能在大范围(超出禁忌表长)内迂回搜索。模拟退火能以较大的概率获得全局最优，要求退火过程不能太快，使得算法收敛较缓慢。遗传算法适用范围比较广，寻优能力较强，程序实现简单，适合于求解类似无功规划优化等复杂非线性优化问题，但计算速度比较慢。与遗传算法相比，粒子群算法的信息共享机制很不同:在遗传算法中，染色体互相共享信息，整个种群的移动是比较均匀地向最优区域移动，在粒子群优化算法中，信息单向流动，即只有粒子历史最优位置gbest将信息传给其他的粒子，搜索更新过程跟随当前最优解。据实验分析可得出粒子群优化算法在多数的情况下，比遗传算法更快地收敛于最优解［6］。

粒子群算法［7］因其简单易行，优化效率高，鲁棒性较好等特点，能方便地被用于求解带离散变量的非线性、不连续、多约束、多变量的复杂优化问题中［8-9］。PSO种群的初始化一般随机生成，和遗传算法类似，也存在如早熟与速度爆炸等问题，即算法前期搜索速度较快，但搜索后期粒子不断向个体最优和群体最优两个“最优值”靠近，粒子渐趋同一化，极易收敛于局部而不是全局最优。

本文提出一种自适应强引导粒子群的电力系统无功优化算法即在粒子群无功优化算法的基础上引入强引导思想［10－11］，在搜索初期，利用外推对粒子位置的更新加以引导，解决传统粒子群算法随机性较强的问题，利用群体适应度方差判别种群的多样性，并相应调整变异概率以作出变异判别实现自适应调整全局和局部搜索能力，更有利于跳出局部最优，可以更有效地搜索到全局最优解。

2 无功优化数学模型

2.1 目标函数

在保证系统无功平衡的条件下，以发电机端电压、有载调压变压器电压比、补偿的电容器容量等控制变量为控制手段，以降低系统网络损耗、改善电能质量为目标，其目标函数如下:其中，nG、nL、n分别为发电机节点总数、负荷节点个数、网络所有支路数;Ploss为系统有功损耗;Ui、Uimax和Uimin为节点电压、节点电压上限和下限;QGi、QGimax和QGimin为发电机节点无功出力、无功出力上限和下限;λv、λQ为相应的越界惩罚系数;Uilim、QGilim的取值为

2.2 变量约束

状态变量即发电机无功功率QGi和负荷节点电压Ui以及控制变量电容器补偿容量QCi、可调变压器电压比Ti和发电机端电压的UGi约束如下:

2.3 功率约束方程

功率约束方程见式(4)。式中，PGi、QGi分别为发电机节点有功、无功出力;PLi、QLi分别为负荷节点有功、无功功率;Gij、Bij、δij分别为节点i、j之间的电导、电纳和电压相角差;n为节点总数;nPQ为系统PQ节点个数。

3 粒子群算法及其实现

3.1 粒子群算法基本原理

在d维的目标搜索空间中，PSO初始化为n个随机粒子，其中第i个粒子表示为一个d维的位置向量xi=(xi1，xi2，…xid)，i=1，2，…n。每个粒子对应的空间位置都是一个潜在解，把空间位置向量xi代入目标函数计算出相应的适应值f(xi)，根据适应值评价粒子xi的优劣。对于最小化问题，目标函数值越小，对应的适应值越理想。第i个粒子的飞行速度以d维向量:vi=(vi1，vi2，…vid)，i=1，2，…n表示，第i个粒子以及整个粒子群迄今为止搜索到的最优位置分别为pgs=(pg1，pg2，…pgd)和pis=(pi1，pi2，…pid)，i=1，2，…n。粒子根据式(5)和式(6)来更新自己的飞行速度和位置［12-13］:

式中，x(t+1)id、x(t)id、v(t+1)id、v(t)id分别表示第i个粒子在t+1和t次迭代的空间位移与运动速度;ω为惯性系数，按式(7)进行自适应调整随进化线性减少［14］。ωmax、ωmin惯性系数上下限;itermax、iter分别表示迭代最大值和当前迭代次数;非负常数c1、c2是学习因子，分别表示粒子个体和群体的加速权重;r1、r2分别表示与粒子个体及群体加速权重系数相关的随机初值，为［0，1］间的随机数;为防止粒子逃离解空间，每维粒子速度vid∈［－vmax，vmax］，迭代终止条件一般为设定的最大迭代次数或粒子群已搜索到的最优位置满足预定最小适应阈值。

3.2 强引导型粒子群算法

本文的粒子群算法引入强引导思想，结合随机数产生虚拟位置，搜索过程较传统的PSO寻优位置更新多样化。结果表明该算法在稳定性、收敛性以及搜索效率上比基本粒子群算法有明显的改进。

设两个变量x1=(x11，x12，…x1n)，x2=(x21，x22，…x2n)，xi∈［ximin，ximax］，i=1，2，…n，且f(x1)＜f(x2)，利用外推技巧调节变量得x3=(x31，x32，…x3n)则x3i=x1i+k(x1i－x2i)，使f(x3)＜f(x1)＜f(x2)成立。

其中，k＞0为调节系数，决定调节的幅度，一般根据经验取0.1。

对于单变量函数f(x)利用外推调节原理求极小值的情况［11］。设变量x1、x2，对应的函数值分别为f(x1)、f(x2)，非极值，且f(x1)＜f(x2)，则

若x1＞x2，可通过式(8)得x3＞x1，满足f(x3)＜f(x1)。

若x1＜x2，可通过式(8)得x3＜x1，满足f(x3)＜f(x1)。

利用粒子适应值的差异引导外推方向［11］。结合随机数，使PSO位置更新式(6)在粒子附近产生虚拟位置，表示粒子尚未达到最优点时，连续函数在它附近存在适应值更小即更优点如式(9)，其中:rand［］∈［0，1］。

结合式(8)和式(9)得到下一个虚拟位置

将式(9)代入式(10)整理得到

对多变量优化问题，每个粒子位置分量较多，使某些分量非常接近甚至相同的两个粒子，此时对虚拟位置的更新变化不大。具体实现时可在式(11)后加上ε作为幅度微调算子［10］，当|x1－x2|较小加强微调幅度，一般隔10代判断进化效果，若效果差，则逐步减小微调幅度。得位置公式［15］:搜索过程利用式(5)、式(7)和式(12)更新粒子的速度和位置。

3.3 自适应强引导粒子群

3.3.1 粒子种群多样性测试

PSO算法在实际应用时，搜索初期收敛速度比较快，但到后期可能所有粒子的速度渐趋为零，使种群失去进一步进化的能力，粒子聚集在一起，易陷入局部最优即种群多样性损失过快。搜索过程各粒子的位置通过适应度函数值来体现，通过种群中所有粒子适应度函数值的变化来实现对各粒子聚集程度的描述。本文选取群体适应度方差作为测试种群多样性指标。群体适应度方差σ2为［16］:

其中，粒子总数为n;第i个粒子适应度函数值为fi;favg为群体目前的平均适应度;f为归一化定标因子，其作用是限制σ2的大小，取值为:

群体适应度方差σ2用于反映粒子群中所有粒子的收敛程度即种群中各个体相互间的分布离散程度，其值越小，粒子群越趋于收敛，种群越集中，多样性越差;反之，粒子群处于随机搜索阶段。

3.3.2 速度自适应变异操作

为让粒子在算法搜索过程渐趋于停滞时重新激活使之朝新方向搜索，自适应变异的引入应根据群体的聚集程度来决定即变异概率的大小随σ2的大小而变化。本文采用的变异概率pm为其中，pm、σ2m分别表示第m次迭代中群体全体极值的变异概率、群体适应度方差;pmax、pmin分别为当前变异概率的最大值、最小值。

从式(15)可看出，适应度方差越小，种群越集中，多样性越差，全局极值的变异概率越大;反之，全局极值的变异概率越小。算法可根据群体中粒子位置状态自适应地调整变异概率，以跳出局部最优。

本文采用的变异策略是在强引导粒子群搜索的基础上在对所有粒子速度的各维配置分布于［0，1］的随机数γ，如果γ小于由式(15)得到的变异概率pm，则该粒子速度的该维向量在解空间初始化:

其中，vid为第i个粒子速度向量的第d个分量;vmax、vmin为vid的上、下限;变异操作后，搜索过程仍记忆粒子迄今找到的最优位置，对n个粒子实施上述变异操作，则种群变异完成，进入新一轮的强引导粒子群寻优，寻求全局最优解。

4 基于自适应强引导粒子群的电力系统无功优化实现过程

本文的优化算法，首先初始化一个规模为n的种群，设定粒子的各边界条件，在满足控制变量约束条件下随机赋予各粒子初始位置和速度，解算潮流，评估粒子适应度。引入强引导思想对粒子速度和位置进行更新，重新评估粒子的适应度，更新个体最优pis和全局最优pgs。利用式(14)计算出群体适应度方差值σ2，据式(15)得出变异概率pm，产生随机数γ，据式(16)判断是否进行变异操作，若是则对n个粒子都实施上述变异操作，则种群变异完成，进入新一轮的强引导粒子群寻优搜索，寻求全局最优解。对算例利用强引导粒子群进行搜索后，若未达到设定的最大迭代次数或满足收敛标准，更新粒子速度和位置，重新更新个体最优pis和全局最优pgs，反之，输出计算结果。改进的算法改善了粒子群算法摆脱局部极值点的能力，提高了算法的收敛性和精度。具体实现过程如图1所示。

图1 无功优化流程图Fig．1 Flow chart of reactive power optimization

5 结果分析

如图2示，系统有25条支路，15台变压器，2个电源节点，17个负荷节点。节点9为系统的平衡节点，其余节点都为PQ节点。PQ节点电压限值0.95～1.05pu，PV节点电压限值为0.9～1.1pu，可调变压器共10台，电压比为0.9～1.1，12个待补偿点，可调电容器容量限值为0～0.5pu，粒子数目为50，最大迭代次数为50。c1=c2=1.8，ω从1.0到0.4按式(7)随进化线性减少，k=0.10，ε=10－6*rand［］。算例初始潮流网损为3.745MW，最低电压为0.8950pu。采用遗传(GA)、模拟退火(SA)、传统粒子群(PSO)、强引导粒子群(IPSO)、强引导与混沌优化(ICPSO)以及本文算法(AIPSO)等不同方法按精度10－4运行50次所得结果如表1和表2所示。本文算法优化后平均降损率为12.20%，最优降损率可达15.3%，最低电压为0.9973pu，虽然平均无功补偿量及计算时间需求较某些方法略高，但从降损、电压质量提高的总体效果充分说明采用自适应强引导粒子群较传统人工智能算法具备更强的全局寻优能力。

图2 高压配电网接线图Fig．2 Diagram of high voltage distribution network

表1 几种不同优化方法结果比较Tab．1 Comparison of several different optim ization methods

表2 三种算法寻优过程解的比较Tab．2 Comparison of results of three different optimization methods

6 结论

本文提出的自适应强引导粒子群无功优化算法，改善传统粒子群随机性较强、后期搜索速度较缓慢的问题，搜索初期对粒子位置的更新加以引导，为进一步让强引导粒子在算法陷入搜索趋于停滞时，自适应变异粒子搜索方向重新激活粒子使之朝新方向搜索，根据群体的适应度方差判别群体的聚集程度并相应调整变异概率作出变异判别实现自适应更新粒子位置和速度，更有利于跳出局部最优，可有效地搜索到全局最优解。采用几种算法对福建某高压配电网的具体分析计算，从表1、表2降损、电压质量提高、收敛时间、搜索解的平均值与最差值的差距小所表明的结果，稳定性等总体效果充分说明采用自适应强引导粒子群应用在电力系统无功优化问题的可行性和有效性。

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