基于阻抗分析法的压电片尺寸分析

曹艳芹，邓国红，杨鄂川，欧 健

(重庆理工大学 重庆汽车学院，重庆 400054)

压电陶瓷因其具有体积小、质量小、机电转换效率高等特点，是振动控制技术中一种很好的作动器元件。影响振动控制效果的因素主要有智能材料的位置、数量以及尺寸等，合理的布置与尺寸能在较小的能量损耗下最大限度地抑制振动。目前，智能材料的优化配置方法主要有基于系统可控性和可观性准则、基于系统能量准则、基于控制和观测溢出的配置准则以及应变能准则等［1－3］。文献［4］指出在智能结构中压电元件存在一最佳厚度使有效弯矩最大。文献［5］采用LQR法讨论了压电片位置和大小对控制效果的影响。文献［6］采用提出的优化模型及算法对悬臂梁压电片的位置、尺寸和控制参数进行优化。

阻抗法与其他方法相比，优点是能抓住PZT片与结构之间机电耦合的物理实质，更方便地建立更完善的理论模型［7］。文献［8］用阻抗分析法对薄板和薄圆筒进行建模分析，并且与静力法和实验法所得结果进行比较，说明阻抗分析法比静力法更接近实验结果。文献［9］比较了静力法、动态有限元法和阻抗法3种分析方法，指出:静力法实现简单，但是会产生较大误差;动态有限元法可以准确反映结构动态响应，但是不能反映系统的物理实质;阻抗法不仅能反映系统的物理实质，而且能更精确地反映结构的动态响应。在国内，对于阻抗分析法也有研究，如文献［10］采用阻抗分析法考察不同尺寸的压电片产生的作用力情况，并进行了验证。

本文就四边简支压电薄板结构的尺寸问题进行了研究和探讨。首先介绍了静力法与阻抗分析法的相关理论，并在Matlab软件中对贴有不同尺寸的压电薄板结构进行仿真，计算出不同尺寸压电片产生的等效弯矩，将结果进行比较。通过对比分析，根据不同尺寸的压电片所产生的等效弯矩选择出最佳压电片。

1 静力法与阻抗分析法

1.1 静力法

考虑上下表面对称粘贴压电片的四边简支薄板，如图1所示。a、b和h分别为薄板的长、宽和厚度;x1、x2、y1、y2为压电片粘贴在薄板上的位置坐标;Mx、My分别为在外电场作用下压电片产生沿x、y方向的等效弯矩;u、v分别为在外电场作用下压电片沿x、y方向的位移。

在静力法中，假定对于粘贴在薄板上并在x和y方向产生大小相等的自由应变的作动器，在x和y方向上的正应力也将相等，也就是在x和y方向产生的等效分布弯矩相等，并且等效分布弯矩与输入频率无关，这显然不能正确反映压电片与薄板之间的动态关系，与实际情况有差距。文献［11］对粘贴有压电作动器的薄板结构系统进行详细分析，对于粘贴层厚度为0的情况(一般假定)，可以得到沿x和y方向的等效分布弯矩(单位长度的弯矩)为

其中:

式(1)～(5)中:h、hp为薄板与压电片的厚度;E、Ep为薄板与压电片的弹性模量;μ、μp为薄板与压电片的泊松比;V为所加电压;d31、d32为压电片的压电常数。

图1 贴有压电片的四边简支矩形薄板结构

从式(1)～(5)可以计算出使作动器产生最大分布弯矩的最佳压电作动器与薄板厚度的比值，不能反映分布弯矩与压电片的大小尺寸的关系，并且分布弯矩与输入频率无关。通过以上数学模型，有研究结果表明所用作动器最佳厚度约为钢板厚度的一半，对于铝板约为其厚度的四分之一。但是，也可以看出静力法并不能确定或者选择出最佳作动器的长宽尺寸，也不能反映系统与输入频率的动态关系。

1.2 阻抗分析法

在阻抗分析法中，定义

其中Z是系统的机械阻抗。在如图1所示的二维薄板结构中，若沿z方向外加一个电压，则压电片产生的等效力为

其中Fx、Fy分别表示x和y方向上的等效力;Zxx、Zyy表示结构的直接阻抗;Zxy、Zyx表示结构的交叉阻抗分别表示压电片沿x和y方向上的速度响应。式中的负号表示结构的响应与压电片产生的等效力方向相反。

由机械阻抗理论(阻抗与导纳的关系)知:

其中Q矩阵表示系统的机械导纳，它们分别为:

式中:ρ表示薄板的密度;ω表示输入频率;ωmn表示薄板的固有频率，可以由以下式求出［12］:

由弹性理论和薄板理论推导出压电作动器产生的等效分布力(弯矩)，即单位长度的等效力(弯矩):

式中的N为:

其中Zpx和Zpy表示短路时压电片在作用点处的输入阻抗，

式中kp表示各向同性压电材料的波数，

其中:ρp为压电片的密度为压电片的复弹性模量;η为损耗因子。

对于整个系统而言，压电片产生的等效弯矩为:

式中δ()·和h()·分别为Direc-delta和Heaviside函数。

由式(7)～(17)可以看出，压电片产生的等效弯矩是与输入频率、压电片位置尺寸有关的函数，通过此方法计算出在压电片尺寸不同，其他条件均相同时压电片产生的等效弯矩，进而比较弯矩的大小，从而选择出最佳压电片尺寸。

2 数值建模与仿真

一块四边简支的矩形铝制薄板，尺寸为300 mm×200 mm×1mm，板的实弹性模量为6.8 ×1010Pa，体密度为 2 800 kg/m3，薄板上下表面中心处均贴有压电片。压电片的实弹性模量为6.3 ×1010Pa，体密度为 7 650 kg/m3，压电常数d31=d32=1.6×10－10m/V。薄板与压电片的泊松比分别为0.33、0.3，损耗因子均为0.005。外加电压幅值为100 V。

利用四边简支薄板弹性理论，计算出薄板的固有频率，如表1所示。

表1 四边简支薄板的固有频率 Hz

选择尺寸分别为40 mm×20 mm×0.8 mm，40 mm×20 mm ×0.2 mm，50 mm ×20 mm ×0.2 mm，50 mm×30 mm×0.2 mm的压电片，并给它们依次编号为p1，p2，p3，p4。下面根据阻抗分析法分别计算在其他条件相同的情况下，不同尺寸的压电片置于薄板中心处所产生的等效弯矩，计算结果如图2所示。

图2中，压电片产生的等效弯矩是频率的函数，在靠近板的固有频率(1，1)，(2，2)处等效弯矩的幅值变化较大，这是压电片与薄板动态耦合的结果。

图2(a)和(b)分别表示p1和p2产生的等效弯矩Mx、My，通过比较可看出p2产生的等效弯矩比p1大;图2(c)和(d)分别表示p2和p3产生的等效弯矩Mx、My，通过比较可看出p3产生的等效弯矩比p2大;图2(e)和(f)分别表示p3和p4产生的等效弯矩Mx、My，通过比较可看出p4产生的等效弯矩比p3大。由上面的比较结果可以说明4种压电片产生的等效弯矩由大到小是p4、p3、p2、p1，由此可以确定在本文所研究的结构中选用p4作为压电作动器，产生的等效弯矩相对最大。

经由以上结果对比分析可见:压电片长宽尺寸相同时，厚度的大小对等效弯矩的大小关系很大，厚度较小时产生的等效弯矩大;压电片厚度相同时，压电片面积越大产生的等效弯矩越大。

图2 不同尺寸压电片产生的等效弯矩

3 结束语

针对压电片尺寸问题，利用阻抗分析法对贴用不同尺寸压电片的四边简支压电薄板进行分析，计算出单对压电片作用于薄板中心位置处的产生的等效弯矩大小，通过对比可以选择出最佳压电片，并得出相关结论。本文只讨论了单对压电片作用下的简支薄板结构，对多对压电片作用下以及其他支撑形式的压电薄板结构产生的等效弯矩需进一步研究。另外，对压电片大小的最优化问题亦需进一步分析。

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