解决天体运动问题的“一、二、三、四”

2012-05-10杨凤楼

物理教师 2012年6期

杨凤楼

(江苏省江阴高级中学江苏江阴 214400)

万有引力定律的发现,是17世纪自然科学最伟大的成果之一.它把地面上物体运动的规律和天体运动的规律统一起来,第一次揭示了自然界中物体间普遍存在的一种基本相互作用规律,对天文学的发展起到了巨大的推动作用.其具体应用有:根据其规律发现新的天体,测天体质量,计算天体密度,研究天体的运动规律,同时也是现代空间技术的理论基础.这部分内容是历年高考的热点,也是教学过程中教师感觉较为容易的部分,无非是圆周运动知识在天体运动中的具体应用.但实际教学却与之正好相反,学生面对众多的物理量和各式各样的运动模型,理不清思路,用不对公式,很容易混淆.本文从4个方面对天体运动中的问题进行分析,希望将纷繁复杂的天体运动问题条理化、简单化.

1 构建一种模型

在天体运动中,通常将研究对象看做质点,将天体运动抽象成质点绕中心点的运动.比如宇宙飞船绕地球飞行,可以将宇宙飞船看作质点,围绕地球做半径为质点到球心距离的匀速圆周运动.在这一模型中,研究对象所受的万有引力提供做圆周运动所需的向心力.利用向心力公式,就可以求出运行速度、天体质量、运动周期等相关物理量.

2 紧扣两条思路

天体运动问题之所以学生感觉比较难,是因为它不仅涉及到新学习的天体运动的各式模型,更是将之前学习过的知识进行综合应用的过程.如万有引力定律、牛顿第二定律、匀速圆周运动规律等等.但拨开层层迷雾,解决天体运动问题有两条基本思路是清晰可见的:

3 分清三个不同

3.1 天体半径和卫星轨道半径的不同

我们通常把天体看作质量均匀的球体,天体半径就是球的半径,反映了天体的大小.卫星轨道半径是天体的卫星绕天体做圆周运动的半径,通常为运动的天体到中心天体球心的距离.一般地,卫星轨道半径大于该天体的半径.当卫星贴近天体表面运动时,可认为卫星轨道半径近似等于天体半径.

例1.一艘宇宙飞船在一个星球表面附近沿圆形轨道环绕飞行,宇航员要估测该星球的密度只需要

(A)测定飞船的环绕半径.

(B)测定行星的质量.

(C)测定飞船的环绕周期.

(D)测定飞船的环绕速度.

分析:当宇宙飞船绕着星球运行时,可视为绕星球做匀速圆周运动,万有引力提供向心力.设宇宙飞船的轨道半径为r,则由向心力公式可得

设星球半径为R,则星球密度为当飞船贴近星球表面飞行时,可近似认为r＝R,故所以只需要知道飞船环绕的周期就可以估测该星球的密度,选(C).

3.2 卫星的运行速度和发射速度的不同

若将地球看作是质量均匀的球体,则卫星绕地球做匀速圆周运动时,由万有引力提供向心力,即得卫星的运行速度(M为地球的质量).从式中可以看出,卫星离地球越高,其运行速度越小;卫星离地球越近,其运行速度越大.当卫星近地运行时,轨道半径近似等于地球半径,这时轨道半径达到最小,运行速度达到最大,代入数据可得,地球卫星的最大运行速度为7.9km/s.

而教材中提到的3个宇宙速度,都是指发射速度.发射速度达到7.9km/s,物体可以成为地球卫星,所以第一宇宙速度也称之为环绕速度;发射速度达到11.2km/s,物体可以完全摆脱地球引力束缚飞离地球,所以第二宇宙速度也称之为脱离速度;发射速度达到16.7km/s,物体可以摆脱太阳引力束缚飞出太阳系,所以第三宇宙速度也称之为逃逸速度.对于绕地球做圆周运动的人造卫星而言,发射速度越大,稳定运行时离地球就越远,轨道半径就越大,所以发射速度越大,运行速度就越小.原因在于卫星在远离地球的过程中,万有引力对其做负功,使速度变小.v＝7.9km/s是地球卫星最大的运行速度,也是最小的发射速度.

例2.以下关于宇宙速度的说法中正确的是

(A)第一宇宙速度是人造地球卫星运行时的最大速度.

(B)第一宇宙速度是人造地球卫星运行时的最小速度.

(C)人造地球卫星运行时的速度一定小于第二宇宙速度.

(D)地球上的物体无论具有多大的速度都不可能脱离太阳的束缚.

分析:第一宇宙速度的大小与最大运行速度的大小相等,都是v＝7.9km/s.人造地球卫星绕地球运行时,速度一定小于或等于第一宇宙速度,所以人造地球卫星的运行速度一定小于第二宇宙速度.当发射速度达到第三宇宙速度时,能脱离太阳引力束缚,故选(A)、(C).

3.3 一般卫星与同步卫星的不同

地球同步卫星相对于地球静止于赤道上空.和地球自转具有相同的运行周期即T＝24h.不同的地球同步卫星,除运行周期相等外,还具有以下特点:

一定在赤道上空.由于卫星受到的地球引力指向地心,在地球引力的作用下同步卫星不可能停留在与赤道平面平行的其它平面,一定位于赤道的正上方.如我国发射的电视转播卫星,不是定点在北京上空,也不是定点在我国其它地点的上空,而是停在位于赤道的印度尼西亚上空.

其它卫星的轨道平面只要通过地心,可以在赤道上空,可以通过两极,也可通过其他地区.离地的高度只要大于地球半径都可以,周期、线速度可能比同步卫星大,也可能比同步卫星小.线速度的最大值为v＝7.9km/s,最小周期大约为84min(近地卫星).

例3.(2011年广东高考理综第20题)已知地球质量为M,半径为R,自转周期为T,地球同步卫星质量为m,引力常量为G.有关同步卫星,下列表述正确的是:

(B)卫星的运行速度小于第一宇宙速度.

(D)卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度.

分析:对卫星环绕地球的圆周运动,运用牛顿第二定律及万有引力定律有解得卫星距地面的高度为错.第一宇宙速度等于近地卫星环绕速度,是地球卫星中的最大环绕速度,(B)对.同步卫星距地面有一定的高度h,受到的向心力大小为(C)错.由可知,卫星运动的向心加速度为由近似关系可知,地球表面的重力加速度为(D)对.故选(B)、(D).

4 掌握4个问题

以上三点可以轻松、简便地解决天体运动中的绝大部分问题.但对于以下几个问题,仅会使用以上三点,会感觉到力不从心,甚至就算找出结果但仍心存疑惑,不得要领.这就要求我们必须从根本上理解它们的本质,把握解决的关键,不仅要知其然,更要知其所以然.

4.1 双星问题

“双星”是由两颗绕着共同的中心旋转的恒星组成.双星运动具有以下特点:两颗恒星均围绕共同的旋转中心做匀速圆周运动;两恒星之间的万有引力分别提供了两颗恒星做匀速圆周运动所需的向心力,即两颗恒星受到的向心力大小相等;两颗恒星与旋转中心时刻三点共线,即两颗恒星角速度相同,周期相同.

图1

例4.现代观测表明,由于引力作用,恒星有“聚集”的特点.众多的恒星组成不同层次的恒星系统,最简单的恒星系统是两颗互相绕转的双星,如图1所示.两星各以一定速率绕其连线上某一点匀速转动,这样才不至于因万有引力作用而吸引在一起.已知双星质量分别为m1、m2,它们间的距离始终为L,引力常量为G,求:

(1)双星旋转的中心O到m1的距离;

(2)双星的转动周期.

分析:设双星旋转的中心O到m1的距离为x,由F引＝F向知

联立以上两式求解得:双星旋转的中心到m1的距离为

双星的转动周期为

4.2 追及问题

天体运动中的“追及问题”,它与直线运动中“追及”的含义不同,研究的是两个在不同的圆周轨道上运动的物体,何时相距最近(即相遇)或最远的问题.相距最近的含义是:两个卫星(或物体)和圆周轨道的圆心三点在同一条直线上,且两个卫星(或物体)在圆心同侧;相距最远的含义是:两个卫星(或物体)和圆周轨道的圆心三点在同一条直线上,且两个卫星(或物体)在圆心异侧.解决这类问题的关键在于首先要知道两个卫星中,哪个角速度较大,然后根据以上分析的最近与最远的关系,列方程解决问题.

图2

例5.(2011年重庆高考理综第21题)某行星和地球绕太阳公转的轨道均可视为圆.每过N年,该行星会运行到日地连线的延长线上,如图2所示.该行星与地球的公转半径比为:

分析:由于每过N年,该行星会运动到日地连线的延长线上,所以有对地球、行星绕太阳的环绕运动,运用开普勒第三定律得代入T1＝1年,解得故选(B).

4.3 变轨问题

图3

卫星从椭圆轨道变到圆轨道或从圆轨道变到椭圆轨道是卫星技术的一个重要方面,卫星定轨和返回都要用到这个技术.以卫星从椭圆轨道远地点变到圆轨道为例加以分析.如图3所示,在轨道远地点P,万有引力要使卫星改做圆周运动,必须满足且F与v垂直,而F与v垂直在远点成立,所以只需增大速度,让速度增大到成立即可,这个任务由卫星自带的推进器完成.“神舟”飞船就是通过这种技术变轨的,地球同步卫星也是通过这种技术定点于同步轨道上的.

图4

例6.如图4所示,飞船在椭圆轨道1上运行,Q为近地点,P为远地点,当飞船运动到P点时点火,使飞船沿圆轨道2运行,以下说法正确的是

(A)飞船在Q点的万有引力大于该点所需的向心力.

(B)飞船在P点的万有引力大于该点所需的向心力.

(C)飞船在轨道1上P的速度小于在轨道2上P的速度.

(D)飞船在轨道1上P的加速度大于在轨道2上P的加速度.

分析:飞船在轨道1上运行,在近地点Q处飞船速度较大,相对于以近地点到地球球心的距离为半径的轨道做离心运动,说明飞船在该点所受的万有引力小于在该点所需的向心力;在远地点P处飞船的速度较小,相对于以远地点到地球球心为半径的轨道飞船做向心运动,说明飞船在该点所受的万有引力大于在该点所需的向心力;当飞船在轨道1上运动到P点时,飞船向后喷气使飞船加速,万有引力提供飞船绕地球做圆周运动的向心力不足,飞船将沿椭圆轨道做离心运动,运行到轨道2上.反之亦然,当飞船在轨道2上的P点向前喷气使飞船减速,万有引力提供向心力有余,飞船将做向心运动回到轨道1上,所以飞船在轨道1上P的速度小于在轨道2上P的速度;飞船运行到P点,不论在轨道1还是在轨道2上,所受的万有引力大小相等,且方向均与线速度垂直,故飞船在两轨道上的加速度等大.故选(B)、(C).

4.4 超失重问题

宇宙飞船在发射升空、在轨运行、返回着陆时,宇航员都会有强烈的超重、失重感受.发射升空过程中需要获得向上的巨大加速度,飞行员会受到十几倍于自身的压力而处于超重的状态.没有接受过严格训练的人会两眼发黑,动弹不得,甚至失去知觉.这是因为人体里的血液不能正常循环.返回着陆时,也会有强烈的超重感受.宇宙飞船在轨运行期间,来自于地球的万有引力全部用来提供绕地球运行所需的向心力,此时飞行器内物体处于完全失重状态,轻轻一碰就会“飞”起来.

例7.宇宙飞船正在离地面高度等于地球半径的轨道上做匀速圆周运动,飞船内一弹簧秤下悬挂一质量为m的重物,g为地面处重力加速度,则弹簧秤的读数为