分析概念结构 促进有效建构

在数学教学中，无论是哪一个教学阶段，数学概念都是重要的教学内容和教学重点。在教学时间的安排、思维要求的把握和练习应用的设计上，都应凸显它的地位和作用。

一、 概念是认知结构的基础与核心

笔者认为，数学教学关注并促进学生构建良好的认知结构是至关重要的。所谓良好的认知结构主要包括两个方面：一方面，是指理解并清晰把握知识与知识之间的关系，即明确每一个知识点之间内在与本质的联系，并在需要时能够灵活地调用、变通与转化，以解决数学问题，这是一种横向的、网络状的结构；另一方面，是指对于每一个知识，不仅要知道它的名称与定义，还应具备对它进行判断、计算与应用等各个层次的相应能力，能解决涉及该知识不同水平要求的数学问题，即拥有该知识从记忆到应用的丰富能力结构，这是一种纵向的、多层次的结构。良好认知结构的这两个方面，反映了数学思维的广阔性和深刻性，对数学概念的建构就应如此。无论是从横向的还是纵向的结构分析，我们都可以发现，数学概念是整个数学认知结构的基础与核心，其解决问题的实质就是概念的应用。

二、 完整概念的要义是它的能力结构

概念教学绝不仅仅是让学生知道概念名称、记住定义，它需要教师在对概念的构成要素进行深入分析、充分把握的基础上设计有效的情境，选择合适的教法，促使学生全面、扎实地掌握概念。

在小学阶段，数的概念和几何概念是两类最重要的数学概念。数的概念教学一般称为数的意义或认识的教学，一个完整的数学概念建构应该包括以下一些要素：（1）知道数的定义（正式的或描述性的），能正确地读与写；（2）理解数的本质特征，能正确地解释现实情境中数的实际意义并举例；（3）掌握数的计量单位及组成规则，能正确地分解和组合；（4）建立数的大小的基本观念，能用自己的方式正确描述数的大小，能对数的应用的合理性作出评价。数学概念中这四个层次的要素其思维水平是逐步上升的，是从知识到能力的发展过程。下面以“百分数的意义”为例再作进一步的具体分析。

从教学目标来看，“百分数”概念的良好认知结构应该包括以下几点。

1. 知道百分数的定义。即“百分数表示一个数是另一个数的百分之几”“百分数也叫做百分率或百分比”；认识百分数并能正确地读、写百分数。例如，读一读：45%、0.8%、100%、115.02%；写一写：百分之十八，百分之六十点五……这是百分数概念构成要素中的基层，是最低水平的要求。

2. 正确理解具体情境中百分数的意义。即它表示的是“谁与谁的比”“谁是百分之一百”；体会百分数与除法、分数之间的联系，即它们都表示一种倍数或比的关系。例如：数学期末考试优秀率66.7%，说一说这个百分数的意义（谁与谁比较？谁是谁的66.7%？谁是100%？）。这个层次的思维要求是理解百分数的本质属性，所以至关重要，这也是知识内化为能力的重要阶段。

3. 理解百分数只能表示两个数之间比的关系，不能表示某个数量的具体大小，分辨百分数与除法、分数之间的区别。这是进一步理解百分数的本质特征，正确进行概念应用的前提。

4. 应用百分数的意义。选择正确的百分数运用于问题情境，或对问题情境中百分数应用的合理性作出评价。例如，将92%、120%、2%分别填入合适的括号里：

（1） 高速公路上，小轿车速度是大客车速度的（ ）。

（2） 学校这个月的用水量是上个月的（ ）。

（3） 小明今年长高的厘米数是去年身高厘米数的（ ）。

应用与评价是概念建构的最高阶段，是能力的体现，对数学概念的学习，只有将思维水平提升到这一层次，才能实现对概念的完整建构，才能实现从数学知识到数学能力的发展目标。

同样，几何概念是几何学习的起点，也是几何计算和几何操作的方法基础。一个完整几何概念的建构，也包含了丰富的能力层次。例如，“周长”概念的形成，应包含以下一些能力要素。

（1） 知道周长的定义，能表述什么是周长。

（2） 能用自己的语言正确描述或指出一个平面图形的周长。

（3） 能根据周长的意义通过测量、计算等基本方法求出一个平面图形的周长。

（4） 能应用周长的意义进行判断和推理，并解决数学问题。

从布鲁姆的学习目标分类理论来看，概念的能力结构正好体现了“记忆、理解、掌握、应用、评价”的思维发展过程。

三、 概念教学的核心是形成良好的能力结构

让学生形成结构完整的数学概念，是概念教学的核心目标，也是进一步学习计算和解决问题的基础。数学能力即生发于此。因此，如何让学生真正掌握好数学概念，形成完整的能力结构，是教学设计和教法选择思考的重点。

（一） 要认真分析概念的结构

这是概念教学设计、确定知识技能目标的第一步。通过概念分析，明确概念的能力构成，清楚学生掌握该概念应该包括哪些层次的能力要素，理清这些能力要素的思维水平和要求，才能做到心中有数，意图清晰，环节目标明确，才能在教学中有层次地引导学生从知识到能力逐步提升。例如，四年级上册“垂直”概念的教学，这是小学数学中的一个基础性概念，对后续的学习非常重要。对它的良好建构，应该包括以下四个层次的能力要素。

（1） “互相垂直”的定义及其表述。

（2） 判断“互相垂直”的方法和垂线的画法。

（3） “垂直关系”与平面上两条直线间其他位置关系的联系与区别，即互相垂直是平面上两条直线位置关系中的特例，同时体会垂直还是描述空间距离的前提。

（4） 应用垂直的概念解决数学问题，如测量距离、判断是否平行等。

通过这样的分析，目标指向就变得非常清晰，教学设计有了明确的导向：每一个环节要探讨什么问题，达到怎么样的思维要求，教学方法如何选择，学习活动如何组织，应该设计怎样的问题情境才有利于学生达到相应的能力水平……这些都有了清晰的依据和思考标准。当然，概念的建构过程具有师生的个性特征和时间上的差异，不能简单的一概而论。

（二） 要突出概念的核心能力要素

一个概念的结构中含有多层次的能力要素，但教学时要避免平均用力，应突出其核心的能力要素。首先，概念结构中的这些要素对概念建构的重要性是不同的，只有涉及对概念本质属性的理解和应用的要素才是最应重视的；其次，概念的建构具有过程性，有时一个概念结构的完全形成并非在一节课中能完成，可能需要一个阶段，因此教学过程中应突出最核心的要素。仍以“百分数的意义”为例，在所有能力要素中，“理解具体情境中百分数的意义，体会百分数与除法、分数等都表示一种倍数或比例关系”和“理解百分数只表示两个数量之间的比例（倍数）关系，不能表示某个数量的具体大小，分辨百分数与除法、分数之间的区别”这两个要素是最重要的。因为一方面它们反映的是百分数概念最本质的属性，另一方面它们是后续有关百分数计算和用百分数解决问题的直接基础。因此，对于前者，教师仅仅让学生解释意义是不够的，需要进一步地深入探讨与理解。例如：

（1） “一件衣服面料中棉占75%”是什么意思？棉的成分可能是100%吗？可能是105%吗？为什么？

（2） “有甲、乙两块地，甲的面积是乙的面积的80%”是什么意思？甲的面积可以是乙的面积的100%吗？这个时候你想到了什么？可以是120%吗？为什么？……

通过讨论与交流，促进学生理解“部分与总量的关系”以及“两个量之间的关系”这两种百分数的意义。而对于后者，教师同样要精心设计问题，做重点的讨论与交流。

例如：“甲、乙两根绳子，甲的长度是乙的长度的”，你能想到什么？还能怎么表达它们之间长度的关系？（甲的长度是乙的0.8倍，甲的长度是乙的80%，甲的长度与乙的比是4∶5……）那么如果“甲的长度是米”，还可怎么表示呢？（可以用0.8米表示）

通过这样的讨论，教师促进学生进一步理解把握百分数的本质特征，突出对“百分数也叫百分率或百分比”的理解，建构层次丰富的概念结构。

（三） 要重视对概念的数学表征

数学表征是用直观、简洁和概括性的方式来揭示数学关系的方法，它反映了学生对数学概念和数学规律等数学知识的建构方式和理解程度。因此，概念教学中重视对概念进行直观、科学的表征，不仅能检测学生对概念的理解是否正确，更能促进学生对概念的深入领会和正确建构。下面是一位教师在教学四年级上册“1亿有多大”中设计的一个环节，目标是研究“1亿粒米有多重”。

（1） 提供信息：“100粒米约2.5克”“50克米约2000粒”。

（2） 学生推算。

（3） 汇报结果：1亿粒米重约2500千克。

（4） 具体表征：如果每袋米50千克，可盛50袋；如果一个人1天吃0.5千克，可吃13年……

“1亿”是一个大数，在“1亿”这个概念结构中，最容易的是“10个千万是1亿”这个知识，但教学不能仅停留于此，而最难的是“具体直观地描述1亿数量的大小”，即建立1亿的基本观念并进行评价，通过以上的具体表征过程，就能够较好地突破这个难点。

同样，在“百分数的意义”教学中，教师可以让学生用自己的方式表示出25%的意义。这是一种多元表征，可以将学生对“25%”的理解用多种方式表征出来，使其头脑中的认知结构得以外显。如“苹果的质量占水果总质量的25%”，“下图阴影部分占整个图形面积的25%”……当学生能够以这样的方式来表示对25%的理解时，概念的本质特征就较好地建构起来了。

（四） 要重视设计有效的情境

学生学习过程中数学思维的发展与教学设计提供的情境和材料密切相关。有效的情境包括问题提出的情境和概念应用的情境。概念应用的情境，是促进学生对概念的掌握达到应用层次的有效手段。所谓的概念应用，不是它的定义内容的简单再现，也不是方法公式的直接套用，而是在一个新的情境中用概念的本质属性进行判断与推理，并解决问题的过程。例如，在认识“周长”以后让学生思考：“下列图形中，阴影部分周长占正方形周长一半的图形是（ ）。”学生在解决问题时必须先确定阴影部分的周长是什么？由哪几部分组成？它与正方形的周长又有怎样的关系？这样的思考是基于能力和概念应用的，而不是简单地套用公式计算周长。

再比如，四年级下册“小数的意义”教学，最后应引导学生用小数的意义解决各种问题，包括解释运算结果。可以让学生思考：“你觉得0.35+0.4的结果是多少？你是怎么想的？”一种数在一定的数系内可以实现运算，这是数的本质属性，而运算的原理是建立在数的概念即本质属性之上的。当学生能够表达“0.35是3个0.1和5个0.01，0.4是4个0.1，合起来是7个0.1和5个0.01，是0.75”或“0.35是35个0.01，0.4是4个0.1，就是40个0.01，二者加起来是75个0.01，就是0.75”这样的思考过程时，表明学生已能较好地应用数的概念去表示量的多少、探究计算的结果或比较数的大小等问题，从而为后续的学习提供扎实的基础。

（浙江省杭州市普通教育研究室 310003）