不等式证明常用方法

刘文汇

不等式是中学数学最基本内容之一,它有着丰富的实际背景，与生产实践联系十分密切.因此，无论普通高考，还是对口高考，不等式历年都是考试的重点、热点,甚至难点.下面就不等式的证明，介绍几种常见方法，如有不对，敬请同行、同学们斧正.

一、作差法

例1 对于任意实数x,求证：x2+3>2x.

证明 ∵x2+3-2x=(x-1)2+2>0,∴x2+3>2x.

评注 1.作差法步骤:作差——变形——判断与0的关系——结论.

2.作差后的变形常用方法有因式分解、配方、通分、有理化等，应注意结合式子的形式，适当选用.

二、作商法

例2 设a,b均是正实数，求证：a琣b琤≥a琤b琣.

证明 首先，由条件a琣b琤>0,a琤b琣>0，

其次，a琣b琤[]a琤b琣=a[]b゛-b，

(1)当a≥b>0时，a[]b≥1，a-b≥0，∴a[]b゛-b≥1.

(2)当b>a>0时，01.

综合(1),(2)：a[]b゛-b≥1，∴a琣b琤≥a琤b琣.

评注 1.作商法步骤:作商——变形——判断与1的关系—结论.

2.作差法是通法，运用较广；作商法要注意条件，不等式两边必须是正数.作商法常用于证幂、指数形式的不等式.

三、综合法

例3 设a,b,c均是正实数,求证：bc[]a+ca[]b+ab[]c≥a+゜+猚.

证明 ∵a,b,c均是正实数,

∴bc[]a,ca[]b,ab[]c也均是正实数.

∴bc[]a+ca[]b≥2c,ca[]b+ab[]c≥2a,ab[]c+bc[]a≥2b.

∴2bc[]a+ca[]b+ab[]c≥2(a+b+c)，

∴bc[]a+ca[]b+ab[]c≥゛+猙+c.

评注 1.利用某些已经证明过的不等式（例如正数的算术均值不小于几何均数等）和不等式的性质(例如|a|-﹟b|≤獆a+b|≤|a|+|b|等)推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法.

2.综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法.

3.运用综合法证明不等式，必须发现式子的结构特征，结合重要不等式和常用不等式，找到解题的方法.

四、分析法

例4 设a>b>0，求证：(a-b)2[]8a

证明 由条件，要证原不等式成立，

只需证(a-b)2[]8a<(a-b)2[]2<(a-b)2[]8b，

只需证(a+b)2[]4a<1<(a+b)2[]4b，

只需证a+b[]2a<1

只需证b[]a<1

∵a>b>0，ァ啻耸较匀怀闪ⅲ∴原不等式在a>b>0时成立.

评注 1.证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫做分析法.

2.分析法的思维特点是：执果索因，步步寻求上一步为真的充分条件，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”.

3.分析法的书写格式：要证明命题B为真，只需要证明命题B1为真，从而有……这只需要证明命题B2为真，从而又有……这只需要证明命题A为真,而已知A为真，故命题B必为真.

五、反证法

例5 已知0

证明 假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a都大于1[]4，则(1-猘)b(1-b)c(1-c)a>1[]64.

由条件，得

(1-a)b(1-b)c(1-c)a=(1-a)a(1-b)b(1-c)c≤a+1-a[]22b+1-b[]22c+1-c[]22=1[]64.

前后矛盾，因而原命题成立.

评注 1.反证法是指有些不等式的证明，从正面证不好说清楚，可以从“正难，则反”的角度考虑，即要证明不等式Ａ>Ｂ，先假设Ａ≤Ｂ，由题设及其他性质，推出矛盾，从而肯定Ａ>Ｂ.

2.反证法证题步骤：反设——推理——归谬——确认.

3.反证法证题类型：凡涉及的证明不等式为否定命题、唯一性命题或含有“至多”“至少”“不存在”“不可能”等词语，可以考虑用反证法.

六、换元法

例6 已知x2+y2=1，求证:|x2+2xy-y2|≤2.

证明 由条件，可令x=玞osθ,y=玸inθ,

则|x2+2xy-y2|=|玞os2θ+2玞osθ玸inθ-玸in2θ|=|玞os2θ+玸in2θ|=2玸in2θ+π玔]4≤2.

评注 1.换元法是指对一些结构比较复杂，变量较多，变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换，以便简化原有的结构或实现某种转化与变通，给证明带来新启迪的方法.

2.换元法常用两种换元形式:

(1)三角换元：多用于条件不等式的证明，当所给条件较复杂，一个变量不易用另一个变量表示时，这时可考虑三角代换，将两个变量都用同一个参数表示.此法如果运用恰当，可沟通三角与代数的联系，将复杂的代数问题转化为三角问题.

根据具体问题，实施的三角换元如：①若x2+y2=1，可设x=玞osθ,y=玸inθ；②若x2+y2≤1,可设x=r玞osθ,y=r玸inθ(其中-1≤r≤1)；③若x2[]a2+y2[]b2=1,则可设x=a玞osθ,y=b玸inθ等.

(2)增量换元：在对称式(任意交换两个字母，代数式不变)和给定字母顺序(如ａ>ｂ>ｃ等)的不等式，考虑用增量法进行换元，其目的是通过换元达到减元，使问题化难为易，化繁为简.

七、均值法

例7 已知a,b,c均为正实数,求证:1[]2a+1[]2b+1[]2c≥1[]b+c+1[]c+a+1[]a+b.

证明 ∵a,b为正实数,∴a+b[]2≥2[]1[]a+1[]b,

即1[]a+1[]b≥4[]a+b.

ネ理:1[]b+1[]c≥4[]b+c，1[]c+1[]a≥4[]c+a.

∴1[]a+1[]b+1[]b+1[]c+1[]c+1[]a≥4[]a+b+4[]b+c+4[]c+a，

∴1[]2a+1[]2b+1[]2c≥1[]b+c+1[]c+a+1[]a+b.

评注 1.均值法是指应用均值不等式，直接回答不等式成立的方法.

2.均值不等式：设a1，a2，a3,…，a4均为正数，则

算术均数A璶=a1+a2+a3+…+a璶[]n,

几何均数G璶=a1a2a3…a璶,

平方均数Q璶=a21+a22+a23+…+a2璶n,

调和均数H璶=n[]1[]a1+1[]a2+1[]a3+…+1[]a璶.

必满足H璶≤G璶≤A璶≤Q璶,而且当且仅当a1=a2=…=猘璶时,取等号.

八、“Δ”法

例8 已知实数a,b,c满足a+b+c=0,abc=2,求证:a,b,c中至少有一个不小于2.

证明 由条件知a,b,c中必有一个为正数，不妨令a>0.

∵a+b+c=0,abc=2,∴b+c=-a,bc=2[]a,

即b,c是二次方程x2+ax+2[]a=0的两个实根，

∴Δ=a2-4•2[]a≥0,a≥2.

∴该命题获证.

评注 1.“Δ”法是指一元二次方程存在实根，则判别式Δ=b2-4ac≥0，从而推得原不等式成立的方法.

2.应用“Δ”法,必须保证两个“一定”:一个原方程一定是实系数一元二次方程,两个实系数一元二次方程一定存在实根.

九、单调法

例9 设x>0,求证:x+1[]x+1[]x+1[]x≥5[]2.

证明 构造函数u=x+1[]x,y=u+1[]u,

∴证明x+1[]x+1[]x+1[]x≥5[]2,相当于证明y≥5[]2.

∵x>0,∴u≥2.

又 ∵易证y=u+1[]u在u∈［2,+∞)时,单调减少,

∴y≥2+1[]2=5[]2.即原不等式成立.

评注 1.单调法是指利用已知函数的单调增加或单调减少特性来回答不等式成立的方法.

2.单调法证题步骤：首先，分析要证不等式，设法建立辅助函数；其次，说明辅助函数在某区间上的单调性（单调增加或单调减少）；第三，根据辅助函数单调性确认不等式成立.

3.函数y=x+a[]x(a>0)在(0,a)上单调减少,在［a,+∞)上单调增加的特性,f(x)=x[]1+x在［0,+∞)上单调增加的特性经常被应用.

十、“1”还法

例10 设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,求证:1[]a+1[]b+1[]c≥9.

证明 由条件,1[]a+1[]b+1[]c=a+b+c[]a+a+b+c[]b+a+b+c[]c=3+b[]a+a[]b+c[]a+a[]c+c[]b+b[]c≥3+2+2+2=9，

而且，当且仅当a=b=c时，等号成立.

即原命题获证.

评注 1.“1”还法是指将要证不等式“1”，有选择性地还原成条件中的代数式，而后根据条件，利用所学定理、公式、性质等，推得要证不等式成立的一种方法.

2.条件中如有a+b=1,a+b+c=1等的不等式证明题，常常应用“1”还法证明.

十一、配凑法

例11 已知0

证明 配凑法(1) ∵0

配凑法(2) ∵0

即x=4[]15时，取等号.

评注 1.配凑法是指将要证不等式一边配凑成基本不等式能应用的形式.

2.应用配凑法,必须注意基本不等式试用条件，如若不满足试用条件，必须重新组合配凑.

十二、放缩法

例12 已知a,b,c,d均为正实数，

求证：

1

证明 记m=a[]a+b+d+b[]b+c+a+c[]c+d+b+d[]d+a+c.

∵a,b,c,d均为正实数，

∴m>a[]a+b+c+d+b[]b+c+d+a+c[]c+d+a+b+d[]d+a+b+c=1，

m

评注 1.放缩法是要证明不等式Ａ<Ｂ成立不容易，而借助一个或多个中间变量通过适当的放大或缩小达到证明不等式的方法.

2.放缩法证明不等式的理论依据主要有：(1)不等式的传递性；(2)等量加不等量为不等量；（3）同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较.

3.常用的放缩技巧有：①舍掉(或加进)一些项；②在分式中放大或缩小分子或分母；③应用均值不等式.

十三、几何法

例13 已知x,y,z∈R+,求证：

x2+y2-xy+y2+z2-yz≥z2+x2-zx.

证明 首先，容易联想：

x2+y2-xy=x2+y2-2xy玞os60°，

y2+z2-yz=y2+z2-2yz玞os60°，

z2+x2-zx=z2+x2-2zx玞os60°.

其次，构造三棱锥P-ABC,并令∠APB=∠BPC=∠CPA=60°，PA=x,PB=y,PC=z.

在△ABC中,|AB|=x2+y2-xy,|BC|=y2+z2-yz，|CA|=z2+x2-zx.

ァ遼AB|+|BC|≥|CA|,ァ鄕2+y2-xy+y2+z2-yz≥z2+x2-zx.

评注 1.几何法是指利用几何图形上边的不等关系来证明不等式成立.

2.几何法实质:设法将要证不等式转化到几何图形对应线段上去.

十四、图像法

例14 设α,β,γ是三角形三内角,x,y,z∈R,求证:

x2+y2+z2≥2xy玞osα+2yz玞osβ+2zx玞osγ.

证明 构造函数f(x)=x2-2x(y玞osα+z玞osγ)+y2+﹝2-2yz玞osβ,显然其图像为开口向上的抛物线.

∵Δ=［-2x(y玞osα+z玞osγ）］2-4(y2+z2-2yz玞osβ)=-4(y玸inα-z玸inγ)2≤0，

∴函数y=f(x)的图像不可能落在x轴下方,应全在x轴上方,最多与x轴相切,即f(x)≥0,∴x2+y2+z2≥2xy玞osα+2yz玞osβ+2zx玞osγ.

评注 1.图像法是指通过构造函数，画函数图像，由函数图像性质说明要证不等式成立.

2.二次函数、二次图像、二次方程、二次不等式之间的关系,常常是图像法解题的关键.

十五、柯西法

例15 已知a1,a2,…a璶为实数,求证:n(a21+a22+…+a2璶)≥(a1+a2+…+a璶)2.

证明 首先将n改写成12+12+…+12,即n个12相加,由柯西不等式,得

n(a21+a22+…+a2璶)=(12+12+…+12）﹏个12和•（a21+a22+…+猘2璶)

≥(1•a1+1•a2+…+1•a璶)2

=(a1+a2+…+a璶)2，

当且仅当a1=a2=…=a璶时等号成立.

因此，原不等式成立.

评注：1.柯西法是指借助柯西不等式证明不等式成立.

2.柯西不等式：(a21+a22+…+a2璶)(b21+b22+…+b2璶)≥(a1b1+a2b2+…+a璶b璶)2,当且仅当b1[]a1=b2[]a2=…=b璶[]a璶时等号成立(当a璱=0时，约定b璱=0,i=1,2,…，n).

3.柯西不等式应用的关键:寻求柯西不等式应用条件或形式.

十六、归纳法

例16 已知a,b为正数,n∈N*,求证:a琻+b琻[]2≥a+b[]2琻.

证明 (1)当n=1时,不等式显然成立.

(2)假设n=k时,不等式成立,即a琸+b琸[]2≥a+b[]2琸.

∵a琸+b琸[]2≥a+b[]2琸,∴a琸+b琸[]2•a+b[]2≥a+b[]2﹌+1.

而a﹌+1+b﹌+1猍]2≥a琸+b琸[]2•a+b[]2(a-b)(a琸-b琸)≥0,

∵由条件,(a-b)(a琸-b琸)≥0显然成立，

∴a﹌+1+b﹌+1猍]2≥a+b[]2﹌+1.

（3）综合(1),(2)可知:ザ匀魏蝞∈N*,不等式a琻+b琻[]2≥a+b[]2琻成立.

评注 1.归纳法是指严格按照数学归纳法三步骤证明不等式成立.

2.数学归纳法证题有三步曲：第一步验证打基础—关键，第二步推理找规律——核心，第三步归纳下结论——确认.

十七、排序法

例17 设a>0,b>0,求证:a3+b3≥a2b+ab2.

证明 根据正数a,b对称性,不妨设a≥b>0,ピ騛2≥b2.

由排序定理知,同序和不小于乱序和,

∴a•a2+b•b2≥a•b2+b•a2,

即a3+b3≥a2b+ab2.

评注 1.排序法是指借助排序定理证明不等式成立.

2.排序定理：设两组实数a1,a2,…,a璶与b1,b2,…，b璶,且a1≤a2≤…≤a璶,b1≤b2≤…≤b璶,c1,c2,…，c璶为b1,゜2,…，猙璶的任意一个排列，则和数

a1c1+a2c2+…+a璶c璶在a1,a2,…,a璶与b1,b2,…，b璶同序时最大，反序时最小，即a1b1+a2b2+…+a璶b璶≥a1c1+a2c2+…+a璶c璶≥a1b璶+a2b﹏-1+…+a璶b1.

3.只有满足排序定理条件时，方可应用其证明不等式.

实践证明：中学数学不等式的证明，对于培养和提高同学们逻辑思维能力、分析解决问题能力确实非常有好处，而且方法绝非上述几种，还有很多很多，如函数法、方程法、性质法、公式法、构造法、调整法,等等，具体遇到不等式证明题目，必须灵活、综合选用.