两种方法解含有参数的二次不等式局部恒成立问题

乔志华

【摘要】含有参数的二次不等式局部恒成立问题是高考中常考的题目之一，解决这种题型的常用方法是分类讨论法或分离系数法，现举例说明.

【关键词】参数;局部;分类讨论法;分离系数法オ

含有参数的二次不等式局部恒成立问题是高考中常考的题目之一，它常以选择、填空或在解答题中应用的形式出现,学生往往无从下手，其根本原因是对这种类型的题的解法不清楚，或者是没有牢固掌握解题方法而产生的结果，解决这种题型的常用方法是分类讨论法或分离系数法，现举例说明.

例1 定义在R上的增函数f(x)对任意x,y∈R都有ゝ(x+獃)=f(x)+f(y).

（1）求f(0)；

（2）求证：f(x)为奇函数；

（3）若f(k•3瑇)+f(3瑇-9瑇-2)<0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围.

解 （1）令x=y=0，得f(0+0)=f(0)+f(0)，ゼ椽ゝ(0)=0.

（2）令y=-x，得f(x-x)=f(x)+f(-x)，即f(-x)=-f(x)对任意x∈R成立，所以f(x)是奇函数.

（3）方法一(分类讨论法)：因为f(x)在R上是增函数，又由（2）知f(x)为奇函数，f(k•3瑇)<-f(3瑇-9瑇-2)=ゝ(-3瑇+9瑇+2),所以k•3琸<-3瑇+9瑇+2，

即(k+1)•3瑇-9瑇-2<0，令t=3瑇,t>0，不等式等价于t2-(k+1)t+2>0对任意t>0恒成立，令g(t)=t2-(k+1)t+2，对称轴为﹖=猭+1[]2.

①当t=k+1[]2≤0，即k≤-1时，g(t)=t2-(k+1)t+2在区间(0,+∞)为增函数，g(t)>g(0)=2>0，所以当k≤-1不等式恒成立.

②当t=k+1[]2>0，即k>-1时，k>-1,

Δ=(k+1)2-4×2<0,解之得-1

综上所述，k<22-1.

方法二(分离系数法)：由(k+1)•3瑇-9瑇-2<0，3瑇>0，解得

k<3瑇+2[]3瑇-1，设u=3瑇+2[]3瑇-1≥22-1，即u的最小值为22-1，

所以k<22-1.

点评 分类讨论的一般步骤是：①确定标准；②恰当分类；③逐类讨论；④归纳结论.

对于恒成立问题，若能转化为a>f(x)(或a

例2 已知f(x)=x2+ax+3-a，若x∈［-2,2］时，ゝ(x)≥0恒成立，求a的取值范围.

解 方法一(分类讨论法)：

f(x)的对称轴为x=-a[]2，最小值为g(a)，则：

①当-a[]2<-2，即a>4时，［-2,2］为f(x)的增区间，g(a)=f(-2)=7-3a≥0，得a≤7[]3.ビ謅>4，所以此时无解.

②当-2≤-a[]2≤2，即-4≤a≤4时，

g(a)=ゝ-a[]2=3-a-a2[]4≥0，得-6≤a≤2，ビ忠蛭-4≤a≤4，所以-4≤a≤2.

③当-a[]2>2，即a<-4时，［-2,2］为f(x)的减区间，g(a)=f(2)=7+a≥0，得a≥-7.ビ忠蛭猘<-4，所以-7≤a<-4.

综上所述，-7≤a≤2.

方法二（分离系数法）：因为f(x)≥0，所以a(x-1)≥-3-x2对任意x∈［-2,2］恒成立.

①当x=1时，0≥-4恒成立，a∈R.

②当1

③当-2≤x<1时，a≤3+x2[]1-x,设u=3+x2[]1-x,则u=1-﹛+4[]1-x-2，

设t=1-x,t∈(0,3］，u=t+4[]t-2,由均值定理可得u≥2,所以a≤2.

因为a(x-1)≥-3-x2对任意x∈［-2,2］恒成立，所以①②③必须同时成立，即-7≤a≤2.

点评 方法一分三类情况讨论，这三种情况均有可能出现，逻辑关系为“或”，因此这三种结果取并集，而方法二也分三种情况讨论，但这三种情况必须同时成立，逻辑关系为“且”，因此这三种结果取交集.