数学思想在解题中的几种运用

张国明

数学科学的知识包括数学知识与数学思想方法两部分.数学思想是人们对所学数学知识的本质认识，是从某些具体数学认识过程中提炼出的一些普遍存在的规律.数学思想方法是数学的灵魂，它反映在数学教学内容里面，体现在解决问题的过程之中，它是将知识转化为能力的桥梁.只有运用数学思想方法，才能把数学知识和技能转化为分析问题和解决问题的能力.

一、分类讨论的思想

分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想对于简化研究对象，发展人的思维有着重要帮助，因此，有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置.所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答.实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略.分类对象确定，标准统一，不重复，不遗漏，分层次，不越级讨论.明确讨论对象，确定对象的全体，确定分类标准，正确进行分类；逐类进行讨论，获取阶段性成果；归纳小结，综合出结论.

分类讨论的一般步骤是：（1）确定讨论对象和确定研究的全域；（2）进行科学分类（按照某一确定的标准在比较的基础上分类），“比较”是分类的前提，“分类”是比较的结果，分类时，应不重复，不遗漏；（3）逐类讨论；（4）归纳小结，整合得出结论.

例1 (2006年辽宁)已知函数f(x)=1[]2(玸in玿+玞os玿)-1[]2|玸in玿-玞os玿|,则f(x)的值域是().

獳.［-1,1］ B.-2[]2,1

C.-1,2[]2D.-1,-2[]2

解析 f(x)=1[]2(玸in玿+玞os玿)-1[]2|玸in玿-玞os玿|=玞os玿(玸in玿≥玞os玿),

玸in玿(玸in玿<玞os玿).

即等价于{玸in玿,玞os玿}┆玬in，故选择答案獵.

点评 本题考查绝对值的定义、分段函数、三角函数等知识，同时考查了学生分类讨论思想和估算能力.

二、数形结合的思想

数形结合思想是指将数(量)与图形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思维策略.数形结合思想可以使抽象的复杂的数量关系通过几何图形直观地表现出来.数形结合思想的基本思路是：根据数的结构特征，构造出与之相适用的几何图形并利用图形的特征和规律，解决数的问题；或将图形信息部分或全部转换成代数信息，削弱或消除形的推理部分，使要解决的形的问题转化为数量关系的讨论.其本质是：使抽象的数与直观的图互相联系、互相渗透、互相转化，使抽象问题直观化，复杂问题简单化，从而优化解题途径.

基本方法：（1）数量关系问题转化为图形性质问题.（2）图形性质问题转化为数量关系问题.（3）数量关系与图形性质相互对照、相互渗透实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图像的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义.

例2 如果实数x,y满足(x-2)2+y2=3,则y[]x的最大值为（）.

獳.1[]2 B.3[]3 C.3[]2 D.3

シ治 等式（x-2)2+y2=3有明显的几何意义，它表示坐标平面上的一个圆，圆心为（2,0),半径r=3（如图），而y[]x=y-0[]x-0，则表示圆上的点(x,y）与坐标原点（0,0)的连线的斜率.如此以来，该问题可转化为如下几何问题：动点A在以（2，0）为圆心，以3为半径的圆上移动，求直线OA的斜率的最大值.由图可见，当∠A在第一象限，且与圆相切时，OA的斜率最大，经简单计算，得最大值为玹an60°=3，选獶.

点评 利用数形结合思想解决问题，要注意数与形的完整结合，由数想形时，一定要准确、全面，特别是图形一定要准确.

数形结合常用的辅助工具：数轴(直角坐标系)、两点间距离公式、向量的模、函数的图像、曲线的方程、直线的斜率与截距、二元一次不等式表示平面区域等.

三、函数与方程的思想

函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象、概括与提炼，是从函数各部分内容的内在联系和整体角度来考虑问题、研究问题和解决问题.所谓方程的思想就是突出研究已知量与未知量之间的等量关系，通过设未知数、列方程或方程组、解方程或方程组等步骤，达到求值目的的解题思路和策略，它是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础.

函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，方程f(x)＝0的解就是函数y＝f(x)的图像与x轴的交点的横坐标，函数y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)-y＝0通过方程进行研究.