高中数学中的函数与方程思想的关系及培养

张家珩

函数是高中数学中最重要的内容之一，它贯穿着中学代数的始终，成为高中数学的一条主线，注重函数与方程的思想方法的培养，也就成了高中数学教学的重点之一.

一、概念上的区别与联系

函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，方程f(x)＝0的解就是函数y＝f(x)的图像与x轴的交点的横坐标，也是函数的零点.函数y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)-y＝0，通过方程进行研究.就中学数学而言，函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易、化繁为简的目的.许多有关方程的问题可以用函数的方法解决，反之，许多函数问题也可以用方程的方法来解决.

函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点.

1.函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决.函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题.2.方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决.方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题.方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系.

二、函数与方程的关系

函数和方程是密切相关的，对于函数y＝f(x)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y＝f(x)看作二元方程y-f(x)＝0.函数问题（例如求反函数、求函数的值域等）可以转化为方程问题来求解，方程问题也可以转化为函数问题来求解，如解方程f(x)＝0，就是求函数y＝f(x)的零点.

三、函数思想的培养

1.函数与不等式也可以相互转化，对于函数y＝f(x)，当y>0时，就转化为不等式f(x)>0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式.

2.数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要.

3.解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及二次方程与二次函数的有关理论.

4.立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决.

另外，高三还要学导数，学好了可以帮助理解以前所学知识，学不好还会扰乱人的思路.高三中还需要注重函数与方程的思想方法的培养，这也是教学的重点.函数是刻画客观世界的一个基本数学模型.“用图形说话”，用图形描述问题，用图形讨论问题，这是一种基本的数学素质.几何直观能力是利用图形生动形象地描述数学问题，直观地反映和揭示思考、讨论问题的思路，揭示丰富多彩的数学思想.培养学生几何直观能力，是新教材的要求，也是提高学生数学素质的要求.因此，对于函数的学习，应该与体会、感受和运用函数解决问题有机地结合起来.应该引导学生去思考函数的应用问题，特别是思考函数在日常生活和其他学科的应用.可以在教学中渗透数学建模的思想.

四、方程思想的培养

分析题目中的未知量，根据条件布列关于未知数的方程（组），使原问题得到解决，叫构造方程法，是应用方程思想解决非方程问题的极富创造力的一个方面.

例题 已知玹anα玹anβ=3，玹anα-β[]2=2，求玞os(α+β).

分析 由题设的表面信息，企图由三角函数的恒等变形得到目标，将徒劳无功，极其艰难.因为欲求玞os(α+β)，必须先求玞osα，玞osβ，玸inα，玸inβ四个中间变量的值，然而题设仅有两个方程，欲挖掘隐含，联立求解，将非常费力，转换思维角度，欲求玞os(α+β)，先求玞osα玞osβ=x，玸inα玸inβ＝y这两个未知数的值，转换为建立关于x，y的方程组，由玹anα玹anβ=3，即y[]x＝3得到一个方程，再由玹anα-β[]2=2设法演化出含x，y的方程，问题便迎刃而解.

解 ∵玹anα-β[]2=2,ァ嗒玞os(α-β)=1-玹an2α-β[]2[]1+玹an2α-β[]2=-3[]5,

设玞osα玞osβ=x，玸inα玸inβ＝y，ァ鄕+y=玞os(α-β)=-3[]5,

y[]x=3,

解得x=-3[]20,

y=-9[]30.

∴玞os(α+β)=x-y=3[]10.

点拨解疑 ①本例是用方程思想解三角问题的范例.②若题目条件分散，联系隐蔽，难于发掘或解题过程十分繁难，应主动应用基本数学思想方法，灵活转换思维角度，寻求优秀解法.