浅谈有理数的巧算浅谈有理数的巧算

吴银花

现代数学论认为：数学源于生活，又运用于生活，生活中充满数学，数学教育寓于生活实际.要有意识地引导学生沟通生活中的具体问题与有关数学问题的联系，借助学生熟悉的生活实际中的具体事例，激发学生学习数学的求知欲，帮助学生更好地理解和掌握数学基础知识，并运用学到的数学知识去解决实际生活中的数学问题.

我们先来计算(100+2)×(100-2)的值：

(100+2)×(100-2)

=100×100-2×100+2×100-4

=1002-22.

这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100，用字母b代换2，上述运算过程变为

(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2.

于是我们得到了一个重要的计算公式：

(a+b)(a-b)=a2-b2.

这个公式叫平方差公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算.

例1 计算3001×2999的值.

解 3001×2999=(3000+1)(3000-1)

=30002-12=8999999.

例2 计算103×97×10009的值.

解 原式=(100+3)(100-3)(10000+9)

=(1002-9)(1002+9)=1004-92=99999919.

例3 计算：24690[]123462-12345×12347.

分析与解 直接计算繁.仔细观察，发现分母中涉及三个连续整数：12345，12346，12347.可设字母n=12346，那么12345=n-1，12347=n+1，于是分母变为n2-(n-1)(n+1).应用平方差公式化简得

n2-(n2-12)=n2-n2+1=1，

即原式分母的值是1，所以原式=24690.

例4 计算：

(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1).

分析 式子中2，22，24…每一个数都是前一个数的平方，若在(2+1)前面有一个(2-1)，就可以连续递进地运用(a+b)(a-b)=a2-b2了.

解 原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)•(216+1)(232+1)

=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)•(232+1)

=(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)=…

=(232-1)(232+1)=264-1.

例5 计算：1-1[]221-1[]32…1-1[]921-1[]102.

分析 在前面的例题中，应用过公式

(a+b)(a-b)=a2-b2.

这个公式也可以反着使用，即

a2-b2=(a+b)(a-b).

本题就是一个例子.

解 原式=1+1[]2

1-1[]2

1+1[]3

1-1[]3

•…•1+1[]9

1-1[]9

1+1[]10

1-1[]10

=1+1[]2

1+1[]3

…1+1[]9

1+1[]10

×1-1[]2

•1-1[]3

…1-1[]9

1-1[]10

=

3[]2•4[]3•5[]4•…•10[]9•11[]9

1[]2•2[]3•3[]4•…•8[]9•9[]10

=11[]2•1[]10•11[]20.

通过以上例题可以看到，用字母表示数给我们的计算带来很大的益处.下面再看一个例题，从中可以看到用字母表示一个式子，也可使计算简化.

例9 计算：1[]2+1[]3+…+1[]19991+1[]2+…+1[]1998-1+1[]2+…+1[]19991[]2+1[]3+…+1[]1998.

分析 四个括号中均包含一个共同部分：1[]2+1[]3+…+1[]1998,我们用一个字母表示它以简化计算.

解 设A=1[]2+1[]3+…+1[]1998,ピ蛟式=A+1[]1999(1+A)-1+A+1[]1999A=A+A2+1[]1999+A[]1999-〢+狝2+A[]1999=1[]1999.