例题的功效及选择

王荣芹

数学课的基本课型有：概念课、习题课、复习课、试卷讲评课.概念课是认知定义、定理、法则构建数学知识与基本原理的过程；习题课是检验知识与原理的记忆、理解的过程，是深化完善知识与原理的过程，是应用知识与原理解决问题的过程，是发现规律总结方法的过程；复习课是构建知识体系的过程，是巩固提升知识与原理的过程，是能有效提取知识与原理解决问题的过程，是多角度、多途径分析问题的过程，是综合应用所学知识解决问题的过程，是能力得到进一步提升的过程.

因此数学学习的过程是伴随问题解决的过程，如何在课堂教学中设计问题使学生在问题中发现、问题中理解、问题中感悟、问题中成长是教学设计中非常重要的一项.下面就例题的功效谈谈本人的看法与同行交流.

1.例题有利于对知识与原理即理论的深化理解

我们常有这样的感觉，所学的理论记住了、理解了，但问题做错了.究其原因发现：对理论的理解肤浅，不到位，或有偏差.

例1 函数y=-x3+x2+tx+t在［-1,1］上是增函数，则t的取值范围为（）.

獳.(5,+∞) B.［5,+∞)

C.(-∞,5)D.(-∞,5］

此题易选答案獳，y′=-3x2+2x+t，由已知在［-1,1］上-3x2+2x+t>0恒成立，

错误理解y′>0是函数y=-x3+x2+tx+t在［-1,1］上是增函数的充要条件.

因此例题、训练题的设计，要有检验学生是否基础知识过关，使学生达到对理论的正确深化理解、补充完善的功效.

2.例题有利于学会对基本问题的规律性求解方法

通过例题的一题多解、一题多变的研究，学会对一类基本问题的规律性求解方法.

例2 在研究一元二次不等式解法时选择了这样一个例题:

解不等式x2-3x+2>0.

通过此问题设计，得到一元二次不等式解法：

（1）因式分解转化为一元一次不等式组.

（2）配方，开方转化为含绝对值不等式|ax+b|<(>)c.

（3）利用函数图像.

例3 在研究含参数一元二次不等式由解集求参数取值范围时选择了这样一个例题:

已知不等式x2-2x+k>0.

（1）若不等式解集是{x|x<-2或x>4}，求k值.

（2）若不等式解集是R，求k值.

通过此问题设计，得到含参数一元二次不等式由解集求参数取值范围的方法：

（1）韦达定理.（2）判别式Δ.（3）分离变量.

3.例题有利于多题归一挖掘共性

通过将几个例题进行求解后比较，或由一个背景相同的问题演变为不同结论几个问题解后反思的研究，找到不变的本质特征，挖掘共性，多题归一，提高学生应对问题的能力.

例4 在函数的导数与最值学习时选择了这样的例题:

问题1：已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-2[]3与x=1时都取得极值.若对x∈［-1,2］，不等式f(x)

问题2：已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-2[]3与x=1时都取得极值.若对x∈［-1,2］，不等式f(x)<2x+3恒成立，求c的取值范围.

问题3：已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-2[]3与x=1时都取得极值.若对任意的x1,x2∈［-1,2］，求证:﹟f(x1)-猣(x2)|≤7[]2.

问题4：求证：玡瑇≥1+x.

通过题后反思，四个问题都可以化归为求函数的最值.

例5

问题1：求函数y=玸in玿+玞os玿的最值.

问题2：a为何值时，方程玸in玿+玞os玿=a有解或无解？

问题3：a为何值时，集合{(x,y)|x+y=a}∩{(x,y)|x2+y2=1}≠В开

以上问题也可化归为同一问题1.

4.例题有利于一题多思，培养思维策略，提高应对能力

中学数学常用的思维策略有：化归与转化、分类讨论、类比、联想、数形结合等.通过例题的选择注重思维策略的渗透，并适时进行归纳、总结，或进行讨论与训练，这对提高学生的解题能力、拓宽思路十分有益.

例6 已知f(x)=1+x2，a,b为相异实数，求证：﹟f(a)-猣(b)|<|a-b|.

思1：平方去绝对值，作差，配方.

思2：作商，分子有理化，放缩.

思3：三角代换,令x=玹anα.

思4：构造向量的模a=（1，x)，利用向量模的三角不等式.

思5：两点间距离公式.

思6：y=1+x2表示双曲线y2-x2=1的上支，f(a)-f(b)[]a-b

是双曲线上两点(a,f(a)),(b,f(b))连线斜率的绝对值，又双曲线y2-x2=1的渐近线斜率为±1，于是得证.

思7：构造函数y=1+x2，转化为函数y=1+x2的图像上任意两点连线的斜率的范围，就是曲线上任一点切线斜率的范围，进而转化为求函数y=1+x2的导数的值域.

综上，例题的功效就决定了例题的选择要有针对性、可行性、典型性、可研究性.

信息时代让我们摆脱了钢板蜡纸的手工操作，书店、书商、网络等多渠道为我们提供了大量的信息资源.如何让“名师一号”在“三尺讲台”进行“教点访谈”,让“名师伴你行”通过“绿色通道”走进“成功高考”?面对各有特色的学习资料，做什么？适合的就是最好的，但有时想找到在知识、方法、能力、创新、时代性等方面适合我们不同层面的学生还是很难的.尤其新课程改革资料中还有个别部分旧教材痕迹太重与新教材衔接不好.为此需要我们教师下题海为学生捞海鲜再烹制出可口的美味佳肴.