探究核心概念 实现有效教学

宋兴富

数学教学就是数学概念的教学，因为我们知道数学概念是反映客观事物本质属性的思维形式，是思维的基本单位或者说是思维的细胞.提高数学教学的有效性在很大程度上就是提高数学概念课的教学的有效性.因此有效性教学成为了数学概念教学的重心.中学数学的核心概念（中学数学概念的主要的中心的部分）就是重中之重，概念教学和学习，首先就要认真研究数学核心概念，思考其教学对策和措施，作为教师就要充分理解核心概念的本质以及在中学数学中的地位和作用.

首先，简单的表述一下核心概念的作用.核心概念必须具有基础性（即在相应领域具有的基础的地位）、联系性（即有利于形成概念的网络系统，联系通畅，便于记忆与检查）、迁移性（即具有自我生长的活力，容易在新的情境中引发新思想和新方法），所以可以说它是数学邻近分支的“灵魂”“栈道”“导火索”.其次，高中数学中的核心概念首当其冲的无疑是函数的概念.本文就是要谈谈通过教学实践，实现有效教学的做法和体会.

一、函数概念的形成

第一个阶段是由具体的现实或科学问题中简单抽象出来的，从最初人们注意到一个变量对另一个变量的依赖关系，到约翰•贝努利的“由任一变量和常数的任一形式所构成的量”，强调了函数要用公式来表示，再到欧拉“如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数”，再次发展到柯西“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫作函数”，其间经历了多次表述上的演变，成为1930年新的现代函数定义为“若对集合M的任意元素x，总有集合N确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义一个函数，记为y=f(x).元素x称为自变元，元素y称为因变元”.从初中到高中的教材中可以看到一些函数概念发展的历史痕迹（只是表现了两个有代表性的形式），但作为高中数学教师，应该深刻理解这一发展历程，我们知道概念的形成过程决定着它的教学过程，所以，我们必须理解这一过程，并能从中得出这一概念的教学设计.

二、学生对函数概念的理解

高中学生对函数概念的理解基础是，一个数量随着另一个数量变化而变化（或不变），即有一个数量叫作自变量，它的变化引起另一个叫作函数值的数量单值变化（或不变），构成这一变与不变的整体.但是，对于高中要研究的定义域和值域并没有上升为概念，只是知道自变量取一个范围得到函数值的一个范围.初中数学认识行为一直发生在数量的、静态的层次上，而高中要达到：“一个数集（非空）与另一个数集（非空）之间，存在一种对应关系（当然是指两集合元素），对于前者的每一个元素，在后者中都能找到唯一的元素与之对应，两个集合及对应关系构成一个整体”，乃至“函数是两个数集之间的一种特殊关系，这个关系满足前者的任意一个元素都与后者中唯一元素对应”这一水平，这就是要实现一次从具体到抽象的飞跃，若省略其中的发展过程，学生就不会真正理解的，以前流行的教学过程是，给出定义、分析定义，给出定义的注意事项、练习，这一过程就会有如章建跃所说“在不适当的时候、用不适当的方法强调细节，把学生‘教糊涂了”的后果.纵观函数概念发展历程，这两种定义之间要经历一个从感性认识到理性认识的过程，即要通过学生易于理解和掌握的实例架设认识、理解的桥梁.

三、实施教学

首先，引入具体函数关系.例如，（1）数学课本的价格是7.75元/本，买x本所需钱y元；（2）某人骑自行车的速度为7.75米/秒，骑行x秒的距离y米.列出x,y的关系式，并考虑两者的异同.对于这两个函数关系，学生很容易理解，而且基本上能够顺利完成.可能有的教师会认为，这样的问题没有意思，不能大幅提升学生对概念的理解，但是，要注意这确是理解概念的必由之路，这个思维过程就是要让学生“自动地”向理解高度迈进.当然，这组例子只是说明相同的表达式未必是相同的函数，引入类似的例子是帮助学生以具体的函数为背景，逐渐认识函数的要素之一，我们还可以继续研究下去，比如，此二函数自变量范围不同，是怎样影响函数取值范围不同的？在将来研究函数图像时，仍可以此为例讨论其图像的异同等.以上这个过程可以称之为辨别不同的刺激模式.

在课堂教学中，我们不要怕在建立、认识概念的环节上“费”时间，从长远的角度看，这是值得的甚至是必要的！实践中，笔者就是在此多花些时间，让学生“自行”认识函数概念，并在恰当时机让学生自己总结所得，知道学生完成类似“已知函数y=x2的值域是［0,1］，是写出其一个定义域”的问题，结果让相邻的学生互相对比发现，这“一个”定义域可以是不同的，再让学生思考他们所关心的函数是否相同，进而说明题中所说的函数是一个类.如此，学生应该逐渐领悟定义中的一些词句.值得一提的还有，学生从文字描述到符号描述过渡，也需要一定的时间和实践来完成，所以，纯粹的符号语言不要给得过早.

其次，引入具体事例，比如乘出租车的费用、峰谷制用电收费等，让学生自己解决实际问题，并从中认识到分段函数的价值，而不应该一开始就研究类似“y=x2(x>1)

2-x(x≤1)”的人为分段函数.结合函数性质，可以让学生逐渐认识到函数的分类（应该弄清楚不同的分类标准），这一过程就是分化和类化不同刺激模式.

涉及具体函数类后，也需要经历由具体到抽象的过程，并以此达到类别属性在学生头脑中的稳定状态.比如，要引导学生自行鉴别指数函数和幂函数的不同属性，等等.以下着重说明三角函数的概念的形成与教学设计.

三角函数的发展历程比较复杂，但是我们可以略去历史上的“坎坷”，而让学生从自然现象和实际问题中感受到周期的概念，因为三角函数实际上是一类周期现象的数学模型.有不少教师在引入三角函数时，会忽略教材中有关周期现象的描述，如水车、摩天轮、潮汐现象、太阳光线射角的变化规律等自然现象和实际问题，他们的理由是“浪费时间”，但这一忽略却错过了学生对三角函数本质属性的认识

机会，从而也导致在处理实际问题时，不能顺利地建立三角函数模型，也就使这一学习过程失去了实际意义.

章建跃曾这样说：三角函数是刻画周期现象的数学模型，是匀速圆周运动的本质表现；角是“转”出来的，与单位圆上的点(x,y)可以建立一种对应关系；研究匀速圆周旋转最重要的是……三角函数是圆的几何性质的代数表示.这一段话道出了在帮助学生建立三角函数概念，以及认识三角函数的顺序等.前面提到的四个周期现象的例子中，前两个就是匀速圆周运动，后两个则是这种现象的另一类表现形式，因此这两例应该在学生认识三角函数概念以后再引入.笔者在课堂教学实践中就是采用这样的顺序或模式，首先与学生共同考察匀速圆周运动，关心圆周上一点的变化规律，在平面直角坐标系中实现这一规律，用几何的方法找出相应的数量关系，再表述为代数表达式，如“单位圆上一动点的纵坐标与其旋转角θ的关系是怎样的”，在实施教学的过程中，着意实现“三角函数从单位圆中来，再到单位圆中去”的过程，从而也就实现了学生能够自觉地运用单位圆来探究三角函数的图像、性质，而不再是以往“单位圆是研究三角函数的一个有效工具”的观点.在研究其图像时，没有放过“匀速圆周运动可以表现出正弦曲线”转化机会，而且在这一转化过程中，还可以让人感受到，几何图形是代数关系的变现形式，同一个几何现象可能有不同的代数刻画，这样一来，再去理解后两个周期现象就不难了.在教学过程中，我们还可以利用适当的时机指导学生认识到，三角函数的很多性质实际是来源于单位圆！从实际教学效果来看，学生确实能够接受并牢固掌握三角函数这一本质，也使得教学难点得以化解.

四、体会与感想

在高中课堂教学中，如果抓不住数学概念的核心，不能保持前后一致、贯穿始终的数学思想主线，在学生没有基本了解数学概念和思想方法时就陷入枯燥而且量大的解题操练，导致教学缺乏必要的根基，教学活动不得要领，在无关大局的细枝末节上耗费学生的宝贵时间，数学课堂中效益、质量“双低”.学生花大量时间学数学，做无数的练习，但数学基础仍很脆弱，离手就忘.

五、努力的方向

我们的有效性教学还处在一个发展阶段，作为教师还需要不断地学习、研究数学概念教学，尤其是核心概念的教学.这就要求教师本身研究核心概念以及概念的核心，研究概念在数学中的地位和功能，研究概念的发展历程，把握概念之间的联系和脉络，整体地认识初高中数学的知识体系和学生的认识规律，从而认识到学生的认识体系，提高教师驾驭教材、使用教材、设计教学的能力.总之，概念的发展历程决定着概念的教学设计.

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章建跃.中学数学教学概论［M］.北京：北京师范大学出版社，2007.