匀速圆周运动的多解问题

王刚

多解问题是高考中常见的题型之一，对试题中题设条件的可能性、物理过程的多样性及物体运动的周期性等因素分析不全，认识不透，往往出现漏解的失误.然而针对匀速圆周运动的多解问题常涉及物体运动的周期性引起多解或是两个物体的两种不同的运动，其一做匀速圆周运动，另一个物体做其他形式的运动.因此，依据等时性建立等式求解待求量是解答此类问题的基本思路.特别需要提醒注意的是，因匀速圆周运动具有周期性，使得前一个周期中发生的事件在后一个周期中同样可能发生，这就要求我们在表达做匀速圆周运动物体的运动时间时，必须把各种可能都给予考虑，并在计算中进行正确的表达.

■ 例1图1为测定子弹速度的装置，两个薄圆盘分别安装在同一个匀速转动的轴上，两圆盘面平行. 若圆盘以转速n=3 600 r/min旋转，子弹以垂直盘面方向射来，先打穿第一个圆盘，再打穿第二个圆盘.测得两圆盘间距离为1 m，两圆盘上被子弹穿过的半径之间的夹角是15°，求子弹穿过第一个圆盘后的速度.

■ 解析子弹在两圆盘间飞行的时间 t=■，这段时间内圆盘转过的角度为2kπ+■.

圆盘的角速度?棕=2kπ+■/t=2kπ+■v.

据题意ω=2π×60=120π.

v=■ m/s. （k=0，1，2，3，…）

■ 例2质点P以O为圆心做半径为R的匀速圆周运动，如图2所示，周期为T. 当P经过图中D点时，有一质量为m的另一质点Q受到力F的作用从静止开始做匀加速直线运动. 为使P、Q两质点在某时刻的速度相同，则F的大小应满足什么条件？

■ 解析速度相同包括大小相等和方向相同. 由质点P的旋转情况可知，只有当P运动到圆周上的C点时P、Q速度方向才相同.即质点P应转过n+■周（n=0，1，2，3…），经历的时间

t=n+■T（n=0，1，2，3…）（1）

质点P的速度v=■（2）

在同样的时间内，质点Q做匀加速直线运动，速度应达到v，由牛顿第二定律及速度公式得

v=■t（3）

联立以上三式，解得：

F=■（n=0，1，2，3…）

■ 例3如图3所示，一圆筒水平放置，筒壁上仅有一个小孔A，现圆筒绕其水平轴匀速转动，当小孔A转到最高点时，一个小球在小孔A的正上方h高度处无初速释放，为使小球顺利通过圆筒的空间，不与筒壁相碰，求：

（1） 圆筒转动的角速度.

（2） 在满足（1）中的最小角速度时圆筒半径是多少？

■ 解析（1） 小球下落h高度所经历的时间为t1，所以h=■gt21.

小球进入小孔后，对于圆筒应满足

ωt1=2kπ+2π（k=0，1，2……）

ω=（2kπ+2π）■（k=0，1，2……）

（2） 最小角速度为：ω=2π■.

小球下落h+2R高度所经历的时间为t2，

所以h+2R=■gt22.

小球经历圆筒的时间为：

Δt=t2-t1=■-■.

为使小球顺利通过圆筒应有：

Δt=■+kT（k=0，1，2……）

因T=■

解得：R=■（k=0，1，2……）.