向心力的来源分析

张彩霞

确定圆周运动的物体所需向心力的来源是研究圆周运动的关键. 在对圆周运动的物体进行受力分析时，往往会多分析一个向心力，从而导致求解错误. 向心力是按力的作用效果命名的力，在受力分析图中不能画出，它可以由某一个力来提供，也可以由几个力的合力来提供，还可以由某个力的分力来提供.

■ 一、 向心力由某一个力来提供

如图1所示，用细绳系一个小球在竖直平面内做圆周运动，如果小球恰好能通过最高点，则在最高点时小球做圆周运动的向心力由重力提供.

如图2所示，一个物体在圆柱体的内壁，随着圆柱体一起做匀速圆周运动，物体与圆柱体无相对滑动，则物体做圆周运动的向心力由圆柱体内壁对物体的支持力（弹力）提供.

如图3所示，将一个物体放在转台上，物体随转台一起做匀速圆周运动，物体与转台无相对滑动，则其向心力由转台对物体的静摩擦力提供.

■ 例1如图4所示，在匀速转动的圆盘上，沿半径方向放着三个物体A、B、C，mA=mC=2mB，它们与盘面间的动摩擦因数相等，它们到转轴的距离的关系为RA

A. B先滑动，沿半径向外

B. B先滑动，沿半径向内

C. C先滑动，沿半径向外

D. C先滑动，沿半径向内

■ 解析物体相对盘滑动是由于提供的向心力小于维持做圆周运动所需的向心力. 物体做圆周运动的向心力由圆盘对物体的静摩擦力提供，故可以先求出物体开始滑动时的临界角速度，μmg=mω2R，所以ω=■，由于RA

■ 二、 向心力由几个力的合力来提供

如图5所示，物体在绳子的作用下在水平面内做匀速圆周运动，其向心力由绳子对物体的拉力和物体重力的合力提供.

如图6所示，物体在光滑的碗内壁做匀速圆周运动，其向心力由碗壁对物体的支持力和物体重力的合力提供.

如图7所示，物体在绳子的作用下在粗糙的水平面内做匀速圆周运动，其向心力由绳子对物体的拉力和物体所受到的摩擦力的合力提供.

■ 例2如图8所示，细绳一端系着质量为M=0.6 kg的物体，静止在水平面上，另一端通过光滑小孔吊着质量为m=0.3 kg的物体，M的中点与圆孔距离为0.2 m，并知M和水平面间的最大静摩擦力为2N. 现使此平面绕中心轴转动，问角速度ω在什么范围内m处于静止状态？（取g=10 m/s2）

■ 解析（1） 当ω比较小时，物体M有向O点滑动的趋势，则此时物体受到的摩擦力背离圆心，向心力由拉力与摩擦力之差提供，即T－ f =Mω21 r，又因为T=mg，

所以ω1=■=2.9 rad/s

（2） 当ω比较大时，M有背离O运动的趋势，则此时物体受到的摩擦力指向圆心，向心力由拉力与摩擦力之和提供，即

T+ f =Mω22 r，又因为T=mg，

所以ω2=■=6.5 rad/s.

因此角速度ω的范围为：2.9 rad/s≤ω≤6.5 rad/s.

■ 例3如图所示，水平转盘可绕竖直中心轴转动，盘上叠放着质量均为1 kg的A、B两个物块，B物块用长为0.25 m的细线与固定在转盘中心处的力传感器相连，两个物块和传感器的大小均可不计. 细线能承受的最大拉力为8 N. A、B间的动摩擦因数为0.4，B与转盘间的动摩擦因数为0.1，且可认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力. 转盘静止时，细线刚好伸直，传感器的读数为零. 当转盘以不同的角速度匀速转动时，传感器上就会显示相应的读数F. 试通过计算在坐标系中作出F-?棕2图象. g取10 m/s2.

■ 解析当B物体与转盘将发生滑动时的角速度为?棕1=■=■ rad/s=2 rad/s；

则F=0，?棕∈［0，2］；

当A物体所受的摩擦力达到最大静摩擦力时，A将要脱离B物体，此时的角速度由

m?棕22r=?滋2mg得?棕2=■=■=4 rad/s，

则F=2m?棕2r-?滋12mg=0.5?棕2-2（?棕∈［2，4］），

?棕=?棕2时绳子的张力为F=2m?棕22r-?滋22mg=6 N＜8 N，故绳子未断，接下来随角速度的增大，A脱离B物体，只有B物体作匀速圆周运动，当B物体与盘有最小静摩擦力时的角速度为?棕3，则?棕3=■=■ rad/s=6 rad/s，

当角速度为?棕2，m?棕22r=1×42×0.25 N=4 N＞?滋1mg，即绳子产生了拉力，

则F=m?棕2r-?滋1mg=0.25?棕2-1，?棕∈［4，6］；

作出F-?棕2图象如下图示：

■ 三、 向心力由某个力的分力来提供

■ 例4如图9所示，升降机内悬挂一圆锥摆，摆线为1 m，小球质量为0.5 kg，当升降机以2 m/s2加速度匀加速上升时，摆线恰与竖直方向成θ=37°角，试求小球的转速和摆线的拉力.

■ 解析对小球而言，受到两个力的作用：重力G和沿绳子方向上的拉力T，在沿半径的方向上只有拉力的分力，因此，小球做圆周运动的向心力由拉力在水平方向上的分力提供.

水平方向Tsin θ=m（2πn）2r，r=Lsin θ；

竖直方向Tcos θ－mg=ma得T=7.5 N；

n=■=0.7 r/s=42 r/min.

■ 总结向心力是效果力，若物体做匀速圆周运动，其向心力必然是物体所受的合外力，它始终沿着半径方向指向圆心，并且大小恒定. 若物体做变速圆周运动，其向心力则为物体所受的合外力在半径方向上的分力，而合外力在切线方向的分力则用于改变线速度的大小. 因此寻找物体向心力的来源，只要确定物体做圆周运动的轨道平面、圆心以及半径，然后对物体进行正确的受力分析，并将物体所受到的力沿半径方向和垂直于半径方向进行正交分解，那么物体做圆周运动的向心力即由沿半径指向圆心的合力提供.