高中数学空间几何体角与距离学习支撑工具对比分析

张莲莲等

摘要：高中数学空间几何体角与距离的学习一直是高中数学教学的重、难点，由于开发的难度大，国内外现有的空间几何体学习支撑工具的功能并不是十分完善，尤其是在角与距离问题的解决上缺乏针对性。本文针对国内外现有的高中数学空间几何体学习支撑工具进行比较，分析其针对角与距离问题解决上的优缺点，为更好地设计与开发空间几何体角与距离学习支撑工具提供一定的参考价值。

关键词：高中数学；空间几何体；角与距离；学习支撑工具

数学学科在基础教育知识体系占有很重要的地位，为了满足教学的需要，国内外开发的此类软件的种类很多，但真正适合教师和学生用来学习空间几何的软件少之又少，难以满足教学需要。事实上，几何是中学教学中的重点，空间几何则是其中的难点[1]，在空间几何的学习过程中，空间几何体角与距离的学习是其中的重、难点，主要原因是空间几何体习题的解决需要学生建立空间想象能力，在空间几何体角与距离问题的学习中主要内容包括：线线角、线面角、二面角、点线距、点面距、异面直线的距离。其中，线面角、二面角、异面直线的距离都需要学生在立体空间中来解决，脱离了平面，在找角或找距离的时候非常的困难，不好理解，学生在学习这部分知识的时候只能借助自己的空间想象能力再加上教师的解释来强行理解，因此学习的效果不是很好，而这部分知识又是高考中的重点知识，因此，需要相关的学习支撑工具来解决此类问题，提高教学质量，从而提高教学效率。

● 高中数学空间几何体教学软件的分类及简介

国内外针对数学学科的教学需求开发的软件颇多，比较突出的有几何画板、GeoGebra、Geometry Expressions、Z+Z智能教育平台系列中面向平面几何的超级画板、Cabri3D、玲珑3D，下面就针对这几款软件进行简单介绍。

1.几何画板

几何画板是适用于数学、平面几何、物理的矢量分析、作图，函数作图的动态几何工具。几何画板软件是由美国Key Curriculum Press公司制作并出版的优秀教育软件，1996年该公司授权人民教育出版社在中国发行该软件的中文版。几何画板能够构建数学模型、揭示数学规律、直观反映数学变化、动态保持形数关系，它以点、线、圆为基本元素，通过对这些基本元素的变换、构造、测算、计算、动画、跟踪轨迹等，显示或构造出千变万化的图形。为教师和学生提供了直观、方便、快捷、准确的图形表现工具，使学生在图形的运动和变化的过程中，观察、归纳出图形的数量关系和图形性质。几何画板适用于几何（平面几何、解析几何、射影几何等）的教学。

2.GeoGebra

GeoGebra是一款结合“几何”、“代数”与“微积分”的动态数学软件，它是由美国罗里达州亚特兰大学的数学教授Markus Hohenwarter所设计的。一方面来说，GeoGebra是一个动态的几何软件，您可以在上面画点、向量、线段、直线、多边形、圆锥曲线，甚至是函数，事后还可以改变它们的属性；另一方面来说，可以直接输入方程和点坐标。所以，GeoGebra也有处理变数的能力（这些变数可以是一个数字、角度、向量或点坐标），它也可以对函数作微分与积分，找出方程的根或计算函数的极大极小值。所以GeoGebra同时具有处理代数与几何的功能。但正是由于GeoGebra具有了多种功能，所以，在每一部分的功能上并不是十分的完善，并且在打开软件时默认的界面含有坐标系，这样会影响图形的构建，默认状态下应该是空白状态，方便教师和学生使用。

3.Geometry Expressions

Geometry Expressions是一款世界领先的交互式符号几何系统。这就意味着：几何图形可以按照符号几何或者数字领域进行定义。绘图因为有了参数和符号动画而显得生动起来；有了新的符号约束，所有的一般建筑结构都可以很好地展现。Geometry Expressions的功能界面略显复杂，包含的功能十分多，特色的地方就是能够将图形与参数相对应，但是由于参数的复杂性，它虽然能够很容易地计算出相应的面积和周长等所需要的答案，但是不利于学生的理解。

4.Z+Z 智能教育平台——超级画板

“Z+Z 智能教育平台”是由我国著名数学家、计算机科学家、著名科普作家、中国科学院院士张景中教授主持策划和开发的。超级画板兼顾几何与代数的教学，并具有自动推理、编程与宏工具的制作等高级功能，可选择空间比较大，但是需要教师掌握的功能也很多。“Z+Z智能教育平台”是为我国的基础教育量身定做的[2]，Z+Z智能教育平台系列中的立体几何其自动推理功能非常强大，不仅能让机器自动推理，还能让用户进行交互式推理，并且还能对用户的解答给出评价和修改。但由于其几何图形的显示和交互方面存在一定的缺陷，因此并不适用于当前的立体几何教学。

5.Cabri3D

法国的Cabri3D于2004年推出，是世界第一款专门针对立体几何学习的辅助教学软件，基于Cabri3D的计算机辅助教学法有助于培养学生的立体感，提高学生的空间想象能力，大大改善立体几何的教学质量，对提高学生数学成绩具有正面影响力，但其只是一款动态几何绘制软件，并没有自动推理及其相关的功能，因此学生不能方便地去探究图中几何元素之间的关系，也无法让计算机去辅助其学习定理的证明等。Cabri3D软件中所以提供的空间几何图形需要手动操作，比较麻烦，绘图时很费时间，所提供的图形不够全面，比如说球体。

6.玲珑3D

玲珑3D是一款好用、实用、灵活、方便的动态数学教学软件。能动态展示几何、函数等图形，具有创新性、实用性，适用于高中、初中、小学数学教师及学生，是一款不错的教学辅助软件。可以真实地体现三维空间，进行教学动画演示，但是玲珑3D不能提供现成的棱锥、棱台、球体、圆柱的立体图形，因此为空间几何体角与距离的学习带来不便，因为这些图形是比较难画的，教师和学生创作这些图形将会浪费太多时间。

● 六种学习支撑工具在问题解决上的对比分析

通过对六种学习支撑工具的研究与分析，我们得出了其在解决空间几何体角与距离问题上的对比分析表（如下表），空间几何体角与距离问题主要可以归类为线线角、线面角、二面角、点线距、点面距、异面直线的距离这六大方面，下表也主要从这六个方面进行对比分析。

从分析表中我们可以清楚地看到，这六种空间几何体学习支撑工具在解决角与距离六大问题上的局限性，目前并没有一款软件可以同时解决空间几何体角与距离中的六大知识点，因此需要开发新的学习支撑工具来满足现阶段高中数学空间几何体的学习，培养学生的空间想象能力，进一步将教学重难点易化，保证教学质量，提高教学效率。

● 研究结论

目前，缺乏高质量的高中数学空间几何体角与距离学习支撑工具，己经制约了信息技术和空间几何体角与距离学习的有效整合。由于各类学习支撑工具中角与距离学习的功能不是十分完善，因此在空间几何角与距离问题的解决上更是缺乏针对性。在数字化学习环境下高中数学空间几何体角与距离学习存在的主要问题包括以下几点：

①现有软件大都只具备平面几何功能而缺少立体几何相关的功能。

②现有教学缺乏针对性，缺少典型案例库。

③现有学习缺少具有针对性的学习支撑工具。

针对这些问题需要开发和设计相关的高中数学空间几何体学习支撑工具来解决在学习此类问题时遇到的困难。

● 结束语

笔者希望能够研究设计一款学习支撑工具来解决空间几何体角与距离问题，空间几何体角与距离可以划分为线线角、线面角、二面角、点线距、点面距，异面直线距离这六大类，能够利用三维解决空间几何前所未有的难题，所设计的学习支撑工具包含所有典型空间几何角与距离问题，通过对各种题型的分析理解，能够让学生掌握两种方法求解空间几何角与距离问题，总结此类问题的各种题型和解题思路，从而建立学生的空间想象能力，提高运算能力。我们期待着这一问题的提出能为新课程改革中的高中数学空间几何体成角与距离的教学带来应用创新。