动态几何中的二次函数

杨永金

近年，中考试题中常有动态几何问题，它包括点动、线动、图形动三种类型。二次函数是初中解决极值问题的基本方法。二者结合，增添了动态几何的趣味和解决方法，提高了学生思维深度和广度。现举三个例子进行分析。

一、单一动点与二次函数

例lA、B、C三点在平面直角坐标系中，其中A点在X轴负半轴上，B点在X轴负半轴上，且AB=10（OA

（1）求线段OA、OB的长和经过点A、B、C的三点抛物线的解析式。

（2）点D的坐标为（4，0），点E（m，n）是该抛物线上的一个动点（且m>0，n>0，连接DE交BC于点F。

①当△BDF为等腰三角形时，写出F点的坐标。

②连结CD、CE，△CDE是否有最大面积？如有，求出△CDE的最大面积和此时点E的坐标；如没有，说明理由。

分析：（1）根据直角三角形相似对应线段成比例求出OA、OB的长，再通过ABC三点确定抛物线的解析式。（2）△BDE为等腰三角形，可分三种情况分析：BD=DE、DE=BE、BD=BE。结合等腰三角形三线合一来解决。求△BDE的最大面积，与二次函数的最值联系起来。

二、两个动点与二次函数

例2在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的四个个顶点A（8，8）B（8，O）、C16，0）、D（16，16）。抛物线过A、C两点。

（1）求出过A、C两点抛物线的解析式。

（2）动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动，同时动点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动，速度均为每秒2个单位长度，运动时间为t秒，过点P作PE垂直于AB交AC于点E。

①过点E作EF垂直于AD于点F，交抛物线于点G。当t为何值时，线段EG最长？

②连接EQ，在点P、Q运动的过程中，判断当T为何值时使得△CEG是等腰二角形？请直接写出相应的t值。

分析：随着点P、Q的运动，EF与抛物线的交点G始终在点E的上方，故EG的长等于YE-YE，所以可以建立二次函数来求最值。对于△CEG等腰三角形，根据P、Q两点的运动分三种情况讨论即可。

三、单一动点的图形变化

例3在平行四边形ABCD中∠B＝60°，M是BC上不与B点重合的点，AB＝8，AD＝6，过M作垂直于AB于点Q，交DC的延长线于点N，设BM=X，△MDQ的面积为Y，求与之间的函数关系式。

分析：要求面积只需取某条线段为底，再找一条高，它们要么是常量要么是关于自变量的代数式，因此，以EF为底DG为高，求解。

（1）设t=x，用含x的代数式表示BM和MQ。

（2）如Q点在BD上移动。

（3）Q运动时能否与M、D够成直角三角形，如能，求出

其值。

分析：（1）中求线段之间的关系可用比例线段求得。（2）中求三角形的面积只需找底与高即可。底与高可能为常量，也可能为含x的代数式。DQ为底，PC为高。（3）可假设能够成直角三角形，把各线段的长求出来，再用勾股定理求解。

通过以上例子，我们可以看到动态问题对学生的综合能力要求较高，解题方法灵活多变，其中所含的数学思想和方法丰富，有数型结合思想、方程思想、函数思想、分类讨论思想、数学建模等思想方法。这样，既考查了学生利用动静结合、图形变换的规律分析、解决问题的能力，又考查了学生观察、猜想、归纳、验证、推理等思维能力。因此，我们应要求学生要会将问题各个时刻的图形分类画图，由“动”变“静”，还要善于抓住在运动过程中某一特殊位置的等量关系和变量关系。

（安龙县笃山中学）