一类食物有限的单种群模型的hopf分支

刘培旭

1.引 言

生态系统中大家熟知的logistic增长模型为：

N（t）·=rN（t）1-N（t）[]K.（1）

其中N（t）表示t时刻种群的密度，r表示内禀增长率，K表示环境最大容纳量.上述模型是在假设人口平均增长率是人口密度的线性函数这一基础上建立的，当环境提供给种群的食物受到限制时，这一假设不符合实际.

1963年，Smith在研究水蚤增长时提出如下著名的食物有限模型：

N（t）·=rN（t）K-N（t）[]K+cN（t）.

1983年，Ladas等考虑到种群平均增长率是某一时滞变元t-τ的函数，得到了具有时滞的食物有限模型：

N（t）·=rN（t）K-N（t-τ）[]K+cN（t-τ）.

在本文我们将讨论比上述模型更广泛的食物有限的模型：

N（t）·=rN（t）K-aN（t）-bN（t-τ）[]K+cN（t）+dN（t-τ）.（2）

模型（2）已经有多人进行研究，范猛等利用重合度理论研究了该模型相应周期系统的周期解的存在性.王金良等对其相应扩散系统的渐近性进行了深入研究.

众所周知，时滞会导致平衡点的失稳及周期解的产生.在本文，我们将以时滞τ为参数来研究其hopf分支问题，并给出相应的例子.

2.hopf分支的存在性

在本节，我们主要通过讨论系统（2）线性部分对应的超越特征方程的根的分布情况来分析正平衡点的局部稳定性.很明显，系统（2）有唯一正平衡点N0=K[]a+b，令x（t）=N（t）-N0把正平衡点平移原点处，得

x（t）·=r（x（t）+N0）-ax（t）-bx（t-τ）[]K+（c+d）N0+cx（t）+dx（t-τ）.

上述方程在x=0处的线性部分为：

x（t）·=-Ax（t）-bx（t-τ）.（3）

其中A=ar[]a+b+c+d，B=br[]a+b+c+d.方程（3）所对应的特征方程为：

λ+A+Be-λx=0.（4）

我们容易证得如下引理.

引理1 当τ=0时，特征方程（4）所有根都是负实根.

下面考察当τ>0时特征方程（4）的根的分布情况.设iω（ω>0）是方程（4）的根，代入得

iω-A+B（cosωτ-isinωτ）=0.

分离实虚部得

Bsinωτ=ω，

Bcosωτ=-A.

（5）

平方相加得

ω2=B2-A2.（6）

若b≤a，则B≤A，上式无实解，即特征方程（4）无纯虚根.若b>a，则B>A，从而（6）式有正实根ω=B2-A2，即方程（4）有形如iω的纯虚根.由（5）式可知出现纯虚根时τ的值为：

τj=1[]ωarccos-A[]B+2jπ，j=0，1，2，….

由以上分析可知：

定理1 对于特征方程（4），有

①若b≤a，则对于任意τ>0，方程（4）无纯虚根.

②若b>a，则当τ=τj时，方程（4）有且只有一对纯虚根±iω.

记λ（τ）=α（τ）+ω（τ）为特征方程（4）满足α（τj）=0，ω（τj）=ω的根.则如有下结论.

引理2 dα（τ）[]dττ=τj>0.

证明 对方程（4）两边关于τ求导得

dλ（τ）[]dτ=Bλ[]eλτ-Bτ.

则

dλ（τ）[]dττ=τj=Biω[]cosωτj+isinωτj+Bτj.

再结合（5）式可得

dα（τ）[]dττ=τj=ω2[]Δ>0.

其中Δ=A[]B+Bτj2+ω[]B2>0.命题得证.

由引理1、引理2及定理1可得如下结论.

引理3 对于特征方程（4），我们有

①若b≤a，则对任意的τ>0，方程（4）的所有根都有严格负实部.

②若b>a，则当τ∈（0，τ0]时，方程（4）所有根都具有严格负实部，当τ∈（τj，τj+1]（j=0，1，2，…）时，方程（4）有2（j+1）个严格正实部的根.

由引理3及hopf分支定理可得如下定理：

定理2 对于系统（2），我们有

①若b≤a，则对任意的τ>0，系统（2）的正平衡点是渐近稳定.

②若b>a，则当τ∈（0，τ0]时，系统（2）的正平衡点渐近稳定；当τ>τ0时，正平衡点不稳定；τ=τj是系统（2）的hopf分支值，即在τ=τj附近系统（2）分支出小振幅的周期解来.

注 定理2仅指出存在局部hopf分支周期解，即分支周期解只在分支值的一个小领域内存在且振幅很小；当参数远离分支值时，分支周期解是否存在，还有待进一步讨论.