基站选址的统计理论方法研究

夏莉娜 朱亚艳 茆国华 钱梦薇 汪珊珊 程翊

[摘要]本文将基站选址问题简化为小圆覆盖大圆问题，并且着重介绍基于蒙特卡罗理论思想的，用单位圆均匀布点方法随机模拟估计覆盖面积的统计理论方法，并且引入置信区间增加该方法的准确性。

[关键词]基站选址 随机模拟 蒙特卡罗方法 置信区间

一、引言

近年来，移动通信技术可谓是发展迅猛，然而通讯信号的发出与接收需要基站的接力中转. 不仅如此，雷达、卫星等等的通讯工具都有一定的信号接收范围，而其昂贵的造价容不得其过多的采用. 如何用最少数量的中转基站保证信号质量和覆盖率是值得研究的问题.

上述实际问题可通过解决下述数学问题来解决，即：设Ω是一半径为R的大圆，用n个半径为r的小圆Ω1，Ω2，…，Ωn（n是正整数）完全覆盖大圆Ω，即 .对于不同的R和确定的r试确定n的最小值（即小圆的最小个数）.

1.基站选址的理论分析

（1）基于抽屉原理的等分圆周法（适用于n=2，3，4）

小圆个数较少时，情况相对简单，我们可以用根据抽屉原理来解决这个问题。为方便起见，我们令大圆Ω的半径为1，先讨论在n一定的情况，r的最小值.

根据文献《用小圆覆盖大圆》，加以作图1、图2说明，我们容易得到：在n=2，3，4时，最小半径分别为r2=1，

现已求出给定一大圆半径，分别用2，3，4个小圆覆盖大圆时的最小小圆半径. 这与我们一开始提出的求给定一大圆半径，用已知半径的小圆覆盖大圆时的小圆的最小个数等价. 不妨设小圆的半径为1，大圆的半径为R，记此时所需要小圆的最小个数是f（R）（它是R的函数）. 则根据上面的讨论，我们有：

但是此方法不能推广到n≥5时，原因是当n≥5时，按照上述方法求出的半径为的小圆不能覆盖大圆的全部，例如n=5，时，有图3所示的结果，而其最优方案应该如图4，它的最优性也在1983年时被Károly Bezdek证明. 其证明过程繁杂，并且小圆的半径r很难求出，但是我们可以知道它的半径范围为：

对于n≥5的情形一般很难讨论，于是我们下面提出用数学统计法来确定小圆的最小半径。

2.基于Monte Carlo法的数学统计法

首先我们研究覆盖面积的统计分布，令大圆

小圆的圆心O1，…，Om，相互独立且服从二维正态分布：

式（3）中的σ12，…，σm2为方差，I2为R2的单位矩阵. 令S表示大圆Ω被m个随机小圆覆盖的阴影面积. 这个阴影部分的面积S就是我们要研究的对象. 当的数目在增加时，利用统计中的Monte Carlo方法，可得S的近似分布。

接下来，我们用数论的方法来进行这一问题的随机模拟。

首先在大圆Ω上构造一个NT网，并假设该网由N个点组成，且这些点在大圆上均匀分布. 若其中有M个点被小圆随机圆覆盖，则S的面积可以用：

来估计.

最后我们参考汪文俊等人的基于Monte Carlo法的思想求小圆最小半径的数学统计法。

理论上，用5000次随机模拟就包含所有的情况似乎不够严谨. 故我们在这里引入的置信区间. 这里假设显著性水平α=0.05，即置信度为95%.

假设样本yk代表模拟计算得到的一系列可靠度值，将yk从小到大排得：

与第一部分类似地，当小圆的半径为1，大圆的半径为R时，此时所需要小圆的最小个数：

二、结束语

本文主要针对基站选址的理论方法进行阐述，把复杂的选址问题简化成小圆覆盖大圆的问题. 文章采用了等分圆周法（主要应用抽屉原理）、数学统计法（基于Monte Carlo法）来解决小圆覆盖大圆问题， 并加入置信区间来提高模拟精准度。

但是本文重于理论的分析，操作性有所欠缺，希望有兴趣之人可以将其完善。

参考文献：

[1]林磊.用小圆覆盖大圆. 数学教学，2007（1）：43-44.

[2]Circles Covering Circles， http：//www2.stetson.edu/～efriedma/circovcir/， 2012，8，28.

[3]汪文俊，陈传钟.随机圆覆盖面积的统计分布[A]. 海南师范大学学报（自然科学版），2010，23（3）：237-241.

[4]唐琼婕，肖斌，郭春营.对系统可靠度的不确定度的随机模拟计算. 质量与可靠性，2011（3）：10-12.

作者简介：夏莉娜（1990.08—），女，汉，浙江杭州人，在读本科生，数学与应用科学，职称：学生，研究方向：概率论与数理统计