向量语言在圆锥曲线问题中的有效解读及应用

王吉勇

摘要近观全国各地高考，模拟试题，在圆锥曲线问题中借助向量表达条件，已成为一种特征，更有甚者；则需要借助向量工具（如夹角公式，向量的数量积等）来解决问题。其基本策略则是通过向量的基本运算律及其几何意义正确解读向量语言，利用向量语言，从而使问题得到根本解决。

关键词应用；解读；问题

一、通过向)的一个焦点是F（1，0），0为坐标原点。

（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；

（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点.若直线l绕点F任意转动，值有OA2+OB2

题中的条件：|OA|2+|OB|2<|AB|2?圳即可代入坐标解答。上述例题也可以说是借助向量工具解决有关问题。

实际上，不管问题中用何中向量语言表达，最后还是要通过向量的基本运算律转化为坐标运算，借助于韦达定理求解。因为坐标法是向量和圆锥曲线的根本契合点。

例2.（2007福建）如图，已知点F(1,0)，直线l :x=-1，P 为平面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q（Ⅱ）过点F的直线交轨迹C于A, B两点，交直线l于点M，还有2008年山东省试题的压轴题，2006年四川卷压轴题等等。

二、利用向量语言解决问题

例3.给定抛物线C：y2=4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点．

(Ⅰ)设l的斜率为1，角的大小；

(Ⅱ)求l在y轴上截距的变化范围。

解析：本题第(Ⅰ)问就是借助向量的夹角公式cos第(Ⅱ)问则与例2使用的向量语言类型相同，解法类似。

解：（I）C的焦点为F(1,0)，直线l的斜率为1，所以l的方程为y=x-1。

将y=x-1代入方程y2=4x，并整理得x2-6x+1=0

设A(x1, y1), B(x2, y2)则有x1+x2=6, x1x2=1