求复合函数单调区间的一种图解方法

赵德娇

函数单调性是函数的核心内容之一，也是高考中重点考查的知识，以考查复合函数的单调性居多。复合函数单调性的复合规律为：若函数y=f（u）与u=g（x）的单调性相同（相反），则y=f [g（x）]是增（减）函数，可概括为：“同增异减”。本文结合例题，对复合函数单调区间的求法给出一种图解方法来求解。该方法的思路是：先找出复合函数的内部函数u=g（x）和外部函数y=f（u），再画出内部函数图像，作出外部函数单调区间，通过观察图像，结合复合函数单调性的复合规律就能得出函数y=f [g（x）]的单调区间，可简述为“画内部函数图像，作外部函数单区”。

例1 函数y=的单调区间。

分析：令u=x2-2x，则y=u。画出内部函数u=x2-2x的图像（如图1-1），作外部函数y=u的单调区间（如图1-2，该函数R在上是减函数），将两个图形合为一个图形（如图1-3）。观察图1-3可以看出，在区间（-∞，1]上内外函数均为减函数，在区间[1，+∞）上内部函数增，外部函数减。所以函数y=的单调增区间为（-∞，1]，单调减区间为[1，+∞）。

例2 函数y=lg（3+4x-x2）的单调区间。

分析：令u=3+4x-x2，則y=lgu。画内部函数u=3+4x-x2的图像（如图2-1），作外部函数y=lgu的单调区间（如图2-2，因为u>0，所以在x轴上以及x轴下方的图像没有意义），将两个图像合为一个图像（如图2-3），观察图像可以得出函数y=lg（3+4x-x2）的单调增区间为（2-，2]，单调减区间为[2，2+]。

例3 函数y=的单调区间______。

分析：令u=x2-x-2，则y=。画u=x2-x-2的图像（如图3-1），作y=的单调区间（如图3-2，因为u≥0，所以在x轴下方的图像没有意义）。将两个图像合为一个图像（如图3-3），由图像可知函数y=的单调增区间为[2，+∞），单调减区间为（-∞，-1]。

例4 已知函数f （x）=8+2x-x2，如果g（x=f （2-x2）），那么g（x）的单调区间______。

分析：令u=2-x2，则g（x）=f （u）=8+2u-u2，画u=2-x2的图像（如图4-1），作函数g（u）=8+2u-u2的单调区间（如图4-2），将两个图像合为一个图像（如图4-3）。观察图像可以得出函数g（x）的单调增区间为（-∞，-1]和[0，1]，单调减区间为[-1，0]和[1，-∞）。

通过这几个例题分析可以看出，这种图解方法直观、形象，例4使用该方法更能体现出简单、快捷的优势。它适用于一次函数、二次函数、指数函数、对数函数和幂函数复合而成的函数，但不适用周期函数，如正弦函数等。

（徐州市田家炳中学）