一类用数列极限计算函数极限的方法

张梦阳

求极限不仅要准确理解极限的概念、性质和极限存在的条件，而且还要能准确地求出各种极限。求极限的方法很多，针对学生的实际情况，本文从一类计算方法总结如下。

一、问题的提出

引例1：计算（）n3。

解：（）n3 =[（1+）]2（1+）-1=e2。

本例中数列极限（1+）=e许多学生认为是由于（1+）n=e，但这种想法似是而非，严格地讲这是由（1+）x=e得出来的，同一个类型的例子基本上都是这样，由此可见x=e这个式子的正确使用是我们必须要掌握的。

引例2：证明（1+）x=e。

证：对于任意的x>1，有（1+）[x]<（1+）x<（1+）[x]+1。

其中[x]表示x的整数部分，令x-> +∞ 时，不等式左右两侧表现两个数列的极限 （1+）n=e与（1+）n+1=e，再利用函数极限的夹逼定理得到（1+）x=e。

接下来我们重点了解一下能不能从数列极限 （1+）n=e求函数极限 （1+）[x]=e 。研究數列极限和函数极限时，许多学生会想到海涅定理，根据海涅定理，（1+）[x]=e的充分必要条件是对于任意趋于+∞的数列{n }都有。

当xn=n时，数列{（1+）1，（1+）2，（1+）3+……（1+）n……}，所以（1+）n=（1+）n=e。

当xn=n2时，数列={（1+）1，（1+）4，（1+）9，……（1+）n2……}是数列{（1+）n}的子列，所以（1+）[x]=（1+）n=e。但是当 xn=时，数列{（1+）[xn]}={（1+）1，（1+）1（1+）1，（1+）2，…，（1+）}，显然数列{（1+）n}是数列{（1+）[xn]}的子列，因此从逻辑上我们就不能直接用（1+）n=e得到（1+）[xn]= e，也就不能直接得到（1+）[x]=e，至于有的教材中直接将{（1+）[xn]} 认为是{（1+）n}的子列，则明显错误的。

二、得到的重要结果

通过上面的分析，我们就可以提出下面的定理。

定理1 设f（x）在[a，+∞]上有定义，（a>0），如果存在数列{xn }，{yn }满足对于任意x>=a，当n<=x证明：对于任意 A>0，由于 xn= yn=A，所以存在N∈N+ （假设N≥a），当n>N时，就会有x-A<ε且y-A<ε取X=N+1，当x>X时，总可以找到满足 n0>N且n0≤x≤n0+1，由条件可得xn≤f（x）≤yn，所以xn-A≤f（x）-A≤yn-A，于是f（x）-A≤max{xn-A，yn-A}<ε。

由极限定义知f（x）=A。

例1：证明=（1+）x=e。

证明：对于任意x≥1，当时n≤x

而 （1+）n=（1+）n+1=e，即有（1+）n<（1+）x<（1+）n+1。

由定理1可知 （1+）x=e。

例2：证明 x=1。

证明：对于任意的x≥1，当n≤n+1时有=[x]在学习定积分时且遇到下面的问题：

例3 ：计算极限。

解： 对于任意的x≥，当≤x≤（k∈N+）时，有costdt≤costdt+costdt=1+2k及costdt≥costdt+costdt=1+2（k-1），于是=≤≤=，而且==。

所以受定理1的启发，结论应该是=。

我们通过上面的思考可以学会或更好地理解下面的知识点：（1）数列极限的概念和函数极限的概念。（2）函数极限的唯一性定理和夹逼定理。（3）数列极限和它的子列极限之间的一些关系。（4）用数列极限计算函数极限的新的方法。

（通渭县常河职业中学）