让抽象函数不再抽象

王春样

抽象函数是指没有给出具体表达式，规定了若干逻辑规则的函数。近几年，全国各地高考中几乎都设置了有关抽象函数的试题，主要考查抽象函数思维能力、分析问题能力及创新能力。抽象函数是高中数学函数部分的难点，因为抽象函数无具体解析式，所以研究起来往往困难重重。本文就抽象函数的解题技巧作了如下归纳。

一、赋值法

赋值法是处理抽象函数问题最基本的技巧。赋值规律一般可以从以下方面考虑：（1）令x=…，-3，-2，-1，0，1，2，3…等特殊值求抽象函数的函数值；（2）令x=x1，y=x1或y=，且x1

例1 定义在R上的函数y=f（x），f（0）≠0，当x>0时，f（x）>1，且对任意的a，b∈R，有f（a+b）=f（a）•f（b）。证明：（1）f（0）=1；（2）对任意x∈R，恒有f（x）>0；（3）f（x）是R上的增函数。

证明：（1）令a=b=0，则f（0）=f2（0），又f≠0，∴f（0）=1。

（2）当x<0时，-x>0，∴f（0）=f（x）•f（-x），∴f（-x）=>0。

又x?莛0时，f（x）?莛1>0，所以x∈R时恒有f（x）>0。

（3）设x10，

∴f（x2）=f（x2-x1+x1）=f（x2-x1）•f（x1）。

∵x2-x1>0，f（x2-x1）>1，

又f（x1）>0，f（x2-x1）•f（x1）>f（x1）。

∴f（x2）>f（x1），所以f（x）是R上的增函数。

二、转化为具体函数

抽象函数的问题要充分利用函数的性质，想办法去掉函数符号“f”，使抽象函数转化为具体函数，然后求解。

例2 f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且f（）=f（x）-f（y）。

（1）求f（1）的值；（2）若f（6）=1，解不等式f（x+3）-f（）<2。

解：（1）令x=y，得f（1）=0。

（2）由x+3>0及>0，得x>0。

由f（6）=1及f（x+3）-f（）<2，得f[x（x+3）]<2f（6），即f[x（x+3）]-f（6）

因为f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，所以<6，解得

综上所述，不等式的解集是x｜0＜x<。

三、区间转换

运用奇、偶函数的性质及其与单调性的关系进行区间转换是解决抽象函数问题的一种有效手段。奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性。

例3 已知f（x）是偶函数，而且在（0，+∞）上是减函数，判断在f（x）在（-∞，0）上是增函数还是减函数，并加以证明。

解：f（x）在（-∞，0）上是增函数，证明如下：设x1

f（x）是偶函数，所以f（-x1）=f（x1），f（-x2）=f（x2） ①

由设可知-x1>-x2>0，又f（x）在（0，+∞）上是减函数，于是有

f（-x1）

把①代入②得f（x1）

由此可得在（-∞，0）上是增函数。

四、数形结合

有此抽象函数的问题用常规方法解难于奏效，但若把抽象问题图形化，利用对称性，数形结合，则可使问题迎刃而解。

例4 定义在R上的奇函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，又

f（-2）=0，则不等式的解集为（）。

A.（-2，0）∪（0，2）B.（-∞，-2）∪（2，+∞）

C.（-∞，-2）∪（2，+∞）D.（-2，0）∪（2，+∞）

解：因为定义在R上的奇函数，所以f（0）=0，且f（x）关于原点对称。

根据题设条件作出函数在R上的大致图像（如图）。

由xf（x）<0，知x与f（x）异号。

由图可知，解集为（-2，0）∪（0，2）。

故选A。

五、正难则反

当面临的数学问题从下面入手求解难度较大时，可以考虑从反面入手解决。

例5 已知函数f（x）在R上是增函数，a，b∈R，若f（a）+f（b）?荞f（-a)+f（-b）。求证：a+b?荞0。

证明：欲证上述命题，正向推理题设条件不容易使用，转而逆向思考，利用反证法。

假设a+b>0，则a>-b，b>-a。

根据单调性可知f（a）>f（-b），f（b）>f（-a），f（a）+f（b）>f（-a)+

f（-b），这与已知矛盾。

所以a+b>0不成立，即a+b?荞0。

函数的特征是通过函数的性质（如奇偶性、单调性、周期性、对称性等）反映出来的，抽象函数也不例外。因此，只有充分利用题设条件所表明（或隐含）的函数性质，灵活、综合运用上述解技巧，抽象函数问题才能峰回路转，柳暗花明。

（龙川县麻布岗中学）