光纤模式理论教学中如何应用几何光学分析方法

唐春晓

摘要： 本文作者从几何光学的角度出发，利用驻波条件，分析了阶跃折射率光纤中子午射线形成导模传输的条件，对如何在教学中展开这一知识点，以及如何与波动光学下的模式理论衔接提出了自己的看法。

关键词： 光纤模式理论几何光学驻波

1.引言

光纤在光通信和光传感领域有着极为重要的作用，在高校教学中诸如光纤通信、光电子技术、光电检测技术、光电子器件等课程都会对光纤的相关知识加以讲解。其中，最为重要也是最难以讲清楚的知识点就是光纤的模式理论。目前，对于模式理论的讲解通常是从波动光学的角度出发；而对于光纤的基本传光原理和关键参数（如数值孔径）却是从几何光学的角度来加以分析。因此，在教学过程中，这两部分内容之间的转换比较生硬，知识之间存在断层。针对这一问题，作者通过教学实践发现，如果能将光纤的模式理论用几何光学的方法加以分析，再根据几何光学下模式理论的不足引出光纤模式的波动光学分析方法，就能够很好地解决这一问题。光纤教学中，通常以阶跃折射率光纤为研究对象，通过子午光线来加以讲解，本文所述光线均指子午光线，光纤为阶跃折射率光纤。

2.利用几何光学分析光纤的模式

模式，指的是事物的标准样式，这个词涉及的范围十分广泛，例如：商业模式、管理模式、思维模式，等等。在光纤理论中，光的模式可以简单地理解为具有相同传播状态的光的集合，不同的集合具有不同的称呼，如导模、一阶模等。光纤中传播的光主要分为两类，一类是可以在光纤中持续传播的光，叫做导模；另一类是在传播过程中能量损耗，在光纤中传播很短距离后全部散失掉的光，叫做辐射模。光纤是传输光的，我们真正关心的是满足何种条件的光可以在光纤中传输，导模是这一类光共有的名字，故将其简称为导模条件。［１］

根据光纤中光传播的基本原理，只有满足以下两个条件的光才能被称为导模：a.在纤芯和包层界面上的全反射条件；b.波导的横向谐振条件。全反射条件是光纤教学中的基本知识点，此处不再赘述。［２］

光在光纤中传播时，光纤横截面上的光强分布是由大量光线叠加而成，如图1所示。光纤中的导模在光纤横截面上的分量叠加会形成驻波，也只有横向分量叠加形成驻波的光，才有可能称为导模，这一条件叫做横向谐振条件。全反射条件和横向谐振条件结合在一起构成了导模的充要条件。

根据驻波理论，多个同类波叠加形成驻波的条件可简化为单一波在往返运动中的相位变化特性。因此，横向谐振条件可表述为：光在光纤横截面上的分量（以下简称横向分量）在纤芯和包层界面之间往返一次，相位变化为2π的整数倍时，该光线满足横向谐振条件。

在横向谐振条件中横向分量的相位变化由两部分组成：（1）横向分量的往返运动所造成的相位变化；（2）在纤芯和包层界面上全反射造成的全反射相移。

1.1横向分量的往返运动产生的相位变化的计算

设某一光线的表达式为=sin（ωt+φ）式中，代表光矢量的方向和振幅，ω=代表光的角频率，φ代表初始相位，（ωt+φ）则代表相位。当光在纤芯和包层的界面上的入射角为θ时，其横向分量可以表述为′=cosθsin（ωt+φ），其中cosθ代表方向和振幅，而相位仍然是（ωt+φ）。因此，光的横向分量与原光线具有相同的相位。

如图2所示，光线1与光线2平行，属于同一个模式。这一模式光的δ是指横向分量从A点到B点再返回A点过程中由光程造成的相位差。光的横向分量与原光线具有相同的相位，故其实质是光线1在A点的相位和光线2在B点相位之间差值的两倍。

在光传播过程中，某一时刻其振动相位相同的点所构成的面叫做波阵面，简称波面，波面与光的传播方向相互垂直。［３］在图2中，光线1和光线2为平行光，过B点做光线1的垂线，与光线1交于C点，则BC为波面，B点和C点的相位相同。C点和A点的相位差δ′可通过光程计算得到：

δ′=2π?=2π?=2π?（1）

因此，横向分量的往返运动所造成的相位变化为：

δ=2δ′=4π?（2）

式中d为纤芯直径，n为纤芯折射率，λ为入射光在纤芯中的波长，λ为入射光在真空中的波长。通常而言，表述光在真空中传播方向的光矢量为，矢量的模k=称为波数，则当光在某一方向上传播L的距离时，其相位变化可表述为kL，即将波数作为计算路程引起的相位变化的运算系数。根据这一简化算法，式（2）可表述为：

δ=2kdncosθ=2d?（kcosθ）（3）

式中k=kn=n=为入射光在纤芯中的波数。

此时，式（3）中的kcosθ可以看做是波数k在光纤横截面上的分量，而2d可以看做是横向分量往返运动的路程。则δ也可以简单地理解为相位变化的运算系数与路程的乘积。

将波数k在光纤轴向上的分量定义为传播常数β=ksinθ=nsinθ，则式（3）可以表述为

δ=2dk=2d=2d（4）

1.2全反射相移

当光在纤芯和包层的界面上发生全反射时，反射光相对于入射光会产生相位上的变化，称为全反射相移。光是一种电磁波，其电场模和磁场模的全反射相移有所不同，电场模为?覬=-2arctan，磁场模为?覬′=-2arctan。利用传播常数可以将其简化为：

?覬=-2arctan=-2arctan（5）

?覬′=-2arctan=-2arctan（6）

为了便于后续分析，可将式（5）和（6）统一简化为

?覬=f（k，n，n，β）（7）

结合式（7）和式（4）可以得到横向谐振条件的数学表达式：

δ=δ+?覬=2d+f（k，n，n，β）=2mπm=1，2…（8）

光纤中的全反射条件的数学表述为：sinθ＞（9）

在前文论述中，θ是光在纤芯和包层的界面上的入射角，而沿光纤轴线方向传播的光不存在这样的入射角，因此前面所述分析不包含沿光线轴线方向传播的光。

若定义沿着光纤轴线方向传播的光对应θ=90°，则θ的取值范围扩展为（0°，90°］，将θ=90°代入式（3）、式（5）和式（6）可得δ=0、?覬=0、?覬′=0，即δ=0对应m=0。因此，式（8）和式（9）可分别扩展为：

δ=δ+?覬=2d+f（k，n，n，β）=2mπm=0，1，2…（10）

0＜＜sinθ≤1（11）

进一步引入传播常数，式（11）可转化为：kn＜β≤kn（12）

结合式（10）和式（12）即可得到光纤中导模条件的完整数学表达式：

kn＜β≤kn2d+f（k，n，n，β）=2mπm=0，1，2，3…（13）

入射到光纤纤芯中的光，满足式（13）的被称为导模，可以在光纤中传输。其中，β和光纤中的导模一一对应，被称为模式的传播常数；同一个m下求解出的导模统一划分为一类，如在m=1时满足导模条件的光被称为1阶模，在m=2时满足导模条件的光被称为2阶模，以此类推，以便于将导模进一步细化分类和研究。

3.几何光学下导模条件的分析与应用

在式（13）中含有以下变量：k、n、β、n、d、m。

这些变量可以依据其描述的物理对象的不同而分为三类：

（1）描述入射光，进一步说是描述光源的变量：λ（由k表述）；

（2）描述光纤的变量：n、n、d；

（3）描述导模的变量：θ（由β表述）、m。

光源、光纤和模式涵盖了光纤模式理论在工程应用和科学研究中所涉及的全部要素。根据式（13），在已知光源和所要使用的光纤的情况下，可以分析出光纤中传播的模式特性，将式（13）中的不等式代入等式中可得：

0≤2d+f（k，n，n，β）＜2dk（14）

其中，2d及f（k，n，n，β）都是β的递减函数，也即

0≤2mπ＜2dkm=0，1，2，3…（15）

进一步简化为

0≤m＜m=0，1，2，3…（16）

式（16）的意义在于：有且只有满足式（16）的取值才能使式（13）成立，即只有满足式（16）的模式才是导模。令m=定义为模式的阈值，根据式（16），光纤中能够存在的最高阶模式一定是“小于”m的最大整数，当然从这一整数向下直到0阶模这些模式都是存在于纤芯中的。

从光纤特性来说，d＞0且n＞n，因此m＞0，代表m=0一定能满足式（16），故在光纤中0阶模一定存在，根据前面的分析0阶模代表了那些传播方向平行于光纤轴线的光，将其定义为基模。

另一方面，如果已知实际应用中需要某一模式，同时光源已知的情况下，就可以分析出应选择什么参数的光纤，由式（16）可得

2d＞mλ≥0（17）

将市面上可以买到的光纤的参数代入式（17），所有使式（17）成立的光纤都可以满足实际需求。

最后，由式（16）变形可得λ＜，根据这一式子，在已知光纤及实际需要光纤中传播何种模式的情况下，可以分析出应使用何种波长的光源。

总而言之，光源、光纤和导模这三个对象中，只要知道其中两项，就可以通过导模条见分析出第三项的特性，这就是几何光学下导模条件的实际意义。

4.几何光学下导模条件的不足与波动光学模式理论的引出

光纤按照其中传播的模式的不同可以分为两种：单模光纤和多模光纤。根据前文对式（16）的分析可知，单模光纤中只有基模传输，即只有m=0满足式（16），因此可以推导出其充要条件：

≤1?圯d≤=（18）

式（18）表明了在几何光学模式理论下光纤中形成单模传输的条件。但是，目前市面上光纤的数值孔径通常为0.18—0.35之间，根据式（18）可知光纤直径的取值上限约在之间2.78λ∶1.43λ，即纤芯尺寸与入射光波长相近，这就与几何光学适用范围产生了矛盾。光学研究中，几何光学通常用来研究尺寸远大于光波长的对象，而对于尺寸与光波长相似的对象而言，其光学特性应当从波动光学的角度加以研究。因此，式（18）所得的结论是一个近似解，光纤模式的几何光学分析结论更适用于多模光纤的分析。如果要研究光纤单模传输的精确条件，应从波动光学理论出发，这样就可顺势引出光纤模式的波动光学分析的教学内容。

实际上，在波动光学的模式理论中，光纤中实现单模传输的条件可以通过归一化频率来表述［４］：

V==＜2.4

?圯d＜2.4≈（19）

对比式（18）和式（19），＜，即凡是满足式（18）的光纤系统都能够满足式（19），因此，几何光学的单模条件虽然在学术上不够严谨，但是在实际应用中仍然是成立的。

5.结语

本文主要阐述了利用几何光学分析光纤模式理论的方法。在实际教学中，这一部分可以作为光纤基础知识和波动光学下光纤模式理论这两部分知识点之间的过渡，使得学生学习光纤相关内容时更加连贯。尤其是几何光学下的单模传输条件，既用到了光纤的基本参数数值孔径，本身又是几何光学的模式理论的结果，更可以引导出光纤模式的波动光学分析，从而用一条线将整个光纤知识串联起来。希望本文的内容对于涉及光纤知识的教师和学生有所帮助。

参考文献：

［1］马春生，刘式墉.光波导模式理论［M］.第一版.长春:吉林大学出版社，2006.

［2］张晓光，王永钢.简明光波导模式理论［J］.光通信研究，1997，4:25-29，38.

［3］郁道银，谈恒英.工程光学［M］.第一版.北京:机械工业出版社，2002.

［4］JosephC.Palais著.王江平，刘杰等译.光纤通信［M］.第一版.北京:电子工业出版社，2006.