从一道题的错解谈“解几”中定型与定量的解题策略

廖平安

例题：已知双曲线的右准线为x=4，右焦点F（10，0），离心率e=2，求双曲线方程.

错解一：∵右准线方程为x=4，∴=4，又c=10，∴a=40，b=c-a=60，故双曲线方程为-=1.

错解二：∵右焦点F（10，0），∴C=10，又e==2，∴a=5，b=c-a=75，故所求的双曲线方程-=1.

上述两个错解，究其原因，是对曲线的“型与量”的关系处理不当.因为双曲线的中心没有明确在坐标原点上，所以不能根据双曲线的标准方程中的量与量的关系来定量计算.也就是说该题由于双曲线位置关系不明，就不能用定型到定量的方法解决，只能用圆锥曲线第二定义来解决.而所谓“定型”是指对曲线的形状、位置、大小的确定（或判断）.“定量”则是在定型的基础上，求曲线（方程）中所涉及数量.我们在解题中只有认真审清题意，准确地判断好曲线形状、位置、大小，才能相应地定量计算相关的量.其实解析几何中很多题目都是由定型到定量或定量到定型来解决的，把定型和定量有机地结合起来，就能快速准确解决解析几何中曲线问题，如下面例子.

一、由曲线“定型→定量”的解题

在通过题目分析，确定曲线形状及其位置（定型）后，再根据其形状、位置、大小来定量解决相关数量，或设好曲线的（方程）待定式，再求式中的待定数与量（定量）.

例题1（2002年北京高考?文）：若直线L∶y=kx-与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限，则直线L倾斜角的取值范围（）.

A.（，）B.（，）C.（，）D.（，）

解析：因为直线2x+3y-6=0过点A（3，0）和点B（0，2），直线L∶y=kx-过点C（0，-），所以直线L绕C点必须与线段AB相交（不含点A、B）时，则交点进入第一象限（定型）.易求直线L倾斜角的取值范围（定量）是（，）.

例题2（2003年北京春季招生?理）：已知直线ax+by+c=0（abc≠0）与圆x+y=1相切，则三边长分别|a|，|b|，|c|的三角形是（）.

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不存在

解析：因为直线与单位圆相切（定型），所以圆心到直线的距离等于半径（定量），所以=1，即|a|+|b|=|c|.故选B.

二、由曲线的“定量定型”的解题

在通过题目分析中，由题中的数量（定量）关系，确定曲线的形状或位置或大小（定型）情况.然后利用曲线固有的一些性质来解题.

例题3：顶点在原点，坐标轴为对称轴，且过点（-2，3）的抛物线是（）.

A.y=-x B.x=y

C.y=-x或x=yD.以上都不对

解析：由点（-2，3）的坐标（定量）可知，抛物线经过第二象限（定型），故可设抛物线方程为y=-2px或x=2py（p＞0），此时把（-2，3）的坐标代入可得p=或p=，故选C.

例题4：已知曲线的中心在原点，焦点F，F在坐标轴上，离心率为，且过点（4，-）.

（1）求曲线方程；

（2）若点M（3，m）在曲线上，求证：MF⊥MF；

（3）求△FMF面积.

解析：（1）∵曲线离心率e=（定量），∴曲线是双曲线（定型），可设方程为x-y=λ（λ≠0）；

又∵曲线过点（4，-），∴16-10=λ，即λ=6.

所以双曲线方程为x-y=6.

（2）易知焦点F（-2，0），F（2，0），

∴K=，K=，∴K?K==-.

又∵（3，m）在双曲线上，∴9-m=6，m=3，

故K?K=-1（定量），则MF⊥MF（定型）.

（3）由M（3，±）在曲线上知（定型），△FMF中FF=4，边FF的高h=（定量），∴△FMF面积是6.

三、由曲线的“定型?圮定量”的解题

在许多题目解答中，往往还要利用定型、定量多次转换.

1.由曲线“定量→定型→定量”的解题

例题5：已知圆M经过点P（-4，0），且与圆C：x-8x+y=0相切的圆心M的轨迹方程是.

解析:设圆M的半径为R，又由圆C的标准方程（x-4）+y=16可知半径r=4，结合图形可得，若圆M与圆C外切时，|MC|-|MP|=4，若圆M与圆C内切时，|MC|-|MP|=-4，也就是说||MC|-|MP||=4（定量）.显然点M的轨迹满足双曲线的定义，则点M轨迹是以P，C为焦点双曲线（定型），其点M轨迹方程为-=1（a＞0，b＞0），由题意和双曲线定义可知2a=4，c=4，则可求得b=12（定量）.故填-=1.

2.由曲线“定型→定量→定型”的解题

例题6：方程y=ax+b与y=ax-b表示的曲线在同一坐标系中的位置可以是（）.

解析：由四个选项可知，y=ax-b表示椭圆（定型），∴y-ax=-b，即y+=-b，∴a＜0，b＜0（定量）；由此可得抛物线y=ax+b是开口向左且焦点在x的负半轴上（定型）.故选A.

综上所述，定型与定量是在解析几何中解决问题的一种重要思想方法与技巧，我们只要善于准确判断曲线的“型和量”，就能利用这种方法和技巧来提高解题能力，提高解题的准确性.