初中几何题的常见错误例析

顾娟

在初中几何教学和学习中，不少同学在解几何题时，都存在着这样或那样的错误问题，下面列举一些最常见的几类错解，希望能通过这几类错误问题的分析和解答，对正在学习几何的初中学生能提供一定的帮助和指导作用.

一、凭主观感觉画图

有些几何问题没有给出一定的图形，很多学生在做这类习题时，往往凭自己的感觉去画图进行求解，学生们一般都会怱视问题讨论，从而得出不完整的结果.

例１ 在⊙Ｏ中弦ＡＣ和ＡＢ的夹角为６０°，Ｐ和Ｑ分别是和的中点，请你求出∠ＰＯＱ的度数.

错误解法 如图１，∵ Ｐ和Ｑ分别是和的中点，由垂径定理的推论可知，ＯＰ⊥ＡＢ，ＯＱ⊥ＡＣ . ∴ ∠ＰＯＱ ＝ １８０° － ∠Ａ ＝ １８０° － ６０° ＝ １２０°.

错解分析 以上过程看上去好像没有什么错误，由于本题没有给出特定的图，同时题中也没有说明圆心Ｏ与∠ＢＡＣ的位置关系，所以要分类讨论圆心Ｏ与∠ＢＡＣ的位置.

图２表示圆心Ｏ在∠ＢＡＣ的一个边上，则∠ＰＯＱ ＝ １２０°或６０°；

图３表示圆心Ｏ在∠ＢＡＣ的外部，则∠ＰＯＱ ＝ ６０°.

所以，从图１、图２、图３可知，∠ＰＯＱ ＝ １２０°或６０°.

二、没有考虑到对应关系

有些几何习题中隐含着一定的对应关系，如果学生不能细致地分析问题，就会作出答案不全的结果.

例２ 已知△ＡＢＣ和△ＡＢＤ相似，∠ＡＢＤ ＝ ∠ＡＣＢ ＝ ９０°，边ＡＣ ＝ ａ，ＢＣ ＝ ｂ，求△ＡＢＤ的斜边ＡＤ上的高.

错误解法 如图４，过Ｂ作ＢＥ⊥ＡＤ于Ｅ，则∠ＢＥＡ ＝ ∠ＢＣＡ ＝ ９０°.

∵ △ＡＢＣ和△ＡＢＤ相似，

∴ ∠ＣＡＢ ＝ ∠ＢＡＤ，

又∵ ＡＢ是△ＡＢＣ和△ＡＢＥ的公共边，

∴ △ＡＥＢ≌△ＡＣＢ，

∴ ＢＥ ＝ ＢＣ ＝ ｂ，即△ＡＢＤ的斜边ＡＤ上的高为ｂ.

错解分析 本题给出的“△ＡＢＣ与△ＡＢＤ相似”，但没有指明这两个三角形的对应关系（“△ＡＢＣ与△ＡＢＤ相似”不等于“△ＡＢＣ∽△ＡＢＤ”），以上解法错误地认为“△ＡＢＣ与△ＡＢＤ相似”已把两个三角形的对应边确定了. 实际上，题意中还存在着另外一种情况，如图５，这种情况下，可以求出ＢＥ ＝ ＡＣ ＝ ａ，所以△ＡＢＤ的斜边ＡＤ上的高应为ａ或者ｂ.

三、用一种特例代替结论

在初中几何学习中，有些同学为了方便省事，有时就利用特殊情况或极端假设下得出的结论去代替问题的结论，这样就犯了以偏概全的毛病.

例３ 证明：直径是圆中最长的弦.

错误证法 如图６，作圆Ｏ，作圆０的一个直径ＡＢ和一个弦ＢＣ，然后将ＯＣ连接.

∵ ＡＢ ＝ ＯＡ ＋ ＯＢ ＝ ＯＣ ＋ ＯＢ ＞ ＢＣ，

∴直径是圆中最长的弦.

错解分析 证明圆中直径是最长的弦，应该是证明在圆中直径比任意一条弦都长. 不是直径的弦不一定就是与该直径有一个重合的端点，以上证明只能说明直径ＡＢ比弦ＢＣ长，而不能说明在这个圆中直径ＡＢ比所有的弦都长，它是用一种特例代替了结论，这样就犯了以偏概全的错误. 正确的证法应该是这样：如图７,作圆O，作⊙Ｏ的直径ＡＢ和弦ＣＤ，且弦ＣＤ是⊙Ｏ中任意一个非直径的弦，将ＯＣ，ＯＤ连接，由于ＯＣ，ＯＤ，ＯＡ都是圆Ｏ的半径，所ＯＡ ＝ ＯＣ ＝ ＯＤ，而在△ＤＯＣ中，ＯＣ ＋ ＯＤ ＞ ＣＤ，而ＡＢ ＝ ２ＯＡ ＝ ＯＣ ＋ ＯＤ ＞ ＣＤ，所以直径是圆中最长的弦. 一定要强调“ＣＤ是任意一条弦”.

四、把证明的结论当条件用

有些同学在做几何证明题时，有时会把要证明的结论拿来当条件使用，这样通过循环使用论证，再得出所要证明的结论.

例４ 在图８中，已知ＡＢ是⊙Ｏ的直径，ＡＣ是一条弦，∠Ａ ＝ ３０°，Ｄ是ＡＢ延长线上一点，且ＤＢ ＝ ＯＡ，连接ＣＤ. 证明：ＣＤ是⊙Ｏ的一条切线.

错误证法 连接ＣＯ，ＣＢ，∵ ＡＯ ＝ ＣＯ，∠Ａ ＝ ３０°，

∴ ∠ＣＯＢ ＝ ６０°，又∵ ＢＯ ＝ ＣＯ，

∴ △ＣＯＢ是等边三角形，因此∠ＯＣＢ ＝ ∠ＣＢＯ ＝ ６０°.

∵ ＤＢ ＝ ＡＯ ＝ ＢＯ，∴ ＢＣ是Ｒｔ△ＤＣＯ斜边上的中线，

∴ ＢＣ ＝ ＤＢ，∴∠ＢＣＤ ＝ ３０°，∴∠ＤＣＯ ＝ ６０° ＋ ３０° ＝ ９０°，即ＣＤ是⊙Ｏ的一条切线.

错解分析 以上证法表面看上去，好像没有什么错误，如果仔细检查，就会发现“ＢＣ是Ｒｔ△ＤＣＯ斜边上的中线”这一句有问题，Ｒｔ△ＤＣＯ是怎么知道的呢？假如△ＤＣＯ是直角三角形，不就说明了ＣＤ是圆Ｏ的切线了吗？以上证法就是不知不觉地把要证明的结论“ＣＤ是⊙Ｏ的切线”当作已知条件进行使用. 所以上述解答是错误的. 应该这样证明：

连接ＣＯ，ＣＢ，∵ＡＯ ＝ ＣＯ，∠Ａ ＝ ３０°，∴∠ＣＯＢ ＝ ６０°，

又∵ ＢＯ ＝ ＣＯ，

∴ △ＣＯＢ是等边三角形，因此∠ＯＣＢ ＝ ∠ＣＢＯ ＝ ６０°.

∵ ＤＢ ＝ ＡＯ ＝ ＢＯ，

又∵ △ＣＯＢ是等边三角形，

∴ ＤＢ ＝ ＢＯ ＝ ＣＢ，

∴∠ＤＣＢ ＝ ３０°，所以∠ＤＣＯ ＝ ６０° ＋ ３０° ＝ ９０°，即ＣＤ是⊙Ｏ的一条切线.