分类讨论思想在数学解题中的应用

2012-04-29皇甫琴

考试周刊 2012年65期

皇甫琴

摘要：在解数学问题时，应用分类讨论思想，通过正确分类，可以使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答.分类讨论的思想在解决某些数学问题时，其解决过程包括多种情形，需要根据所研究的对象存在的差别，按一定标准把原问题分为几个不同的种类，并对每一类逐一加以分析和讨论，再把每一类结果和结论进行汇总，最终使得整个问题在总体上得到解决.

关键词：分类讨论思想中学数学教学应用

一、分类讨论思想

针对研究问题过程中出现的不同情况进行分类研究的思想，称之为分类讨论思想，其实质是一种逻辑划分的思想，是一种“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略.

分类讨论思想，是一种重要的数学思想，也是一种逻辑方法，同时又是一种重要的解题策略.分类讨论思想具有较高的逻辑性及很强的综合性，有利于提高学生对数学学习的兴趣，培养学生思维的条理性、缜密性、科学性，所以在数学解题中占有重要的位置.

二、分类讨论的要求、原则及其意义

分类讨论的要求：正确应用分类讨论思想，是完整解题的基础.应用分类讨论思想解决问题，必须保证分类科学、统一，不重复，不遗漏，在此基础上减少分类，简化分类讨论过程.

为了分类的正确性，分类讨论必须遵循一定的原则，在中学阶段，经常运用以下四大原则.

（一）同一性原则

分类应按同一标准进行，即每次分类不能同时使用几个不同的另类根据.

如：把三角形分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形是满足要求的.但是銳角三角形、直角三角形、钝角三角形、等边三角形、等腰三角形，这种分类就不正确，此种分类同时用了按边、按角两种分类标准.

（二）互斥性原则

分类后的每个子项应当互不相容，即做到各子项相互排斥，也就是分类后不能有一些事物既属于这个子项，又属于另一子项.

如：某班有9个同学参加球类和田径两项比赛，其中有6人参加球类比赛，5人参加田径比赛，如把这9个人分成参加球类比赛和参加田径比赛两类，这就犯了子项相容的逻辑错误.因为必须有2人既参加球类比赛，又参加田径比赛.

（三）相称性原则

分类应当相称，即划分后子项外延的总和，应当与母项的外延相等.

如：某人把有理数分为正有理数和负有理数两类，这个分类是不相称的，因为子项的外延总和小于母项的外延.事实上有理数中还包括零.

（四）层次性原则

分类有一次分类和多次分类之分，一次分类是对被讨论对象只分类一次；多次分类是把分类后的所有的子项作为母项，再次进行分类，直到满足需要为止.

如：对数进行划分，最大层次是实数，实数又分为有理数与无理数，有理数可以分为正有理数、负有理数和零，无理数可以分为正无理数和负无理数，当然，还可以继续深化.

（五）意义

分类讨论的意义：在解决数学问题时，对于因为存在一些不确定因素无法解答或者结论不能给予统一表述的数学问题，我们往往将问题按某个标准划分为若干类或若干个局部问题来解决，通过正确的分类，能够克服思维的片面性，使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答.

三、分类讨论思想在中学数学中的应用（以初中数学为例）

（一）分类讨论思想在不等式中的应用

例如：解方程|x+2|+|3-x|=5

解析：对于绝对值问题，往往要将绝对值符号内的对象区分为正数、负数、零三种，在此方程中出现两个数的绝对值；即|x+2|和|3-x|，对于|x+2|应分为x=-2，x<-2，x>-2；对|3-x|应分为x=3，x<3，x>3，把上述范围画在数轴上，可见对这一问题应划分为三种情形：①x>-2，②-2≤x≤3，③x>3，得解如下：

①当x<-2时，化简-（x+2）+3-x=5得x=-2，这与x<-2矛盾，故x<-2时方程无解.

②当-2≤x≤3时，原方程x+2+3-x=5恒成立，故满足-2≤x≤3的一切实数x都是方程的解.

③当x>3时，化为x+2-（3-x）=5，得x=3，这与x>3矛盾，故x>3时无解.

综上所述，原方程的解为在-2≤x≤3范围内的任意实数.

（二）分类讨论思想在函数中的应用

例如：已知函救y=（m-1）x+（m-2）x-1（m是实数）.如果函数的图像和x轴只有一个交点，求m的值.

分析：这里从函数分类的角度讨论，分m-1=0和m-1≠0两种情况来研究解决问题.

解：当m=l时，函数就是一个一次函数y=-x-1，它与x轴只有一个交点（-1，0）.

当m-1≠0时，函数就是一个二次函数y=（m-1）x+（m-2）x-1.

由△=（m-2）+4（m-1）=0，得m=0.

抛物线y=-x-2x-1的顶点（-1，0）在x轴上.

（三）分类讨论思想在几何中的应用