通过类比相似知识点,用置换方法解决问题

沈国平

在数学课堂教学中，很多同学对于计算线段条数、握手次数等问题颇感困难，由于数字过多，所以在计算过程中或者重复或者遗漏，本文试通过类比进行置换的方法，解决这一类问题.

首先，从课本中的练习题谈起.

例1如图，在平面内有A1，A2，A3，A4，…，An-1，An共n个点（任意三点不在同一条直线上），经过这n个点画直线能画几条？

分析固定点A1，它与其他的点组成的直线可以表示为：

直线A1A2，A1A3，A1A4，…，A1An-1，A1An共有直线（n-1）条.

固定点A2，它与其他的点组成的直线可以表示为：

直线A2A1，A2A3，A2A4，…，A2An-1，A2An共有直线（n-1）条.

依次类推，固定点An，它与其他的点组成的直线可以表示为：

直线AnA1，AnA2，AnA3，AnA4，…，AnAn-1，共有直线（n-1）条.

由上可知，“每个点与其他（n-1）个点各组成一条直线”，同时还可知直线总数为n(n-1)条.但是A1A2与A2A1两条直线是同一条，所以上面的直线总数除去一半才是实际直线总数，即12n(n-1)条.

下面再看课本中另一类似题目：

例2如图，在∠AOB内，以顶点O为端点的射线画n条，一共可以组成多少个角？

此题可以通过类比，本题中从端点O发出的射线共有(n+2)条，每条射线类似于例1中的点，所以可以用点来置换此题中的射线，由例1结论类似可得图形中共有角12(n+2)(n+1)个.

例3一个凸多边形共有20条对角线，它是几边形？

分析这里设这个多边形为n边形，则顶点分别记为A1，A2，A3，A4，…，An-1，An.

固定点A1与它顶点连接的对角线有（n-3）条，每一条对角线也可以置换成一个点，所以类似例1的结论可得对角线共有12n(n-3)条.

其实，类似计算比赛场数、确定线段条数、聚会时握手总次数等问题，也可以通过类比置换方法加以解决.

事实上，不光在解题时可以通过类比置换来解决问题，在很多数学概念教学中也可以如此进行.

例如，在学习“线段的中点”和“角平分线”这两个知识点上就有相似之处，对比如下：

知识点定义计算方面的应用

线段的中点把一条线段分成相等的两条线段的点两条小线段长度相等，分割前的线段是分割后两条小线段长度的两倍（或分割后的小线段长度是分割前线段长度的一半）

角的平分线把一个角分成相等的两个角的射线两个小角的度数相等，分割前的角是分割后两个小角度数的两倍（或分割后的小角度数是分割前大角度数的一半）

例4如图（1），①若∠AOC=∠BOD=x，2∠COB=∠DOA，则∠COB=(用含x的代数式表示)；

②若∠AOC=∠BOD=x，∠AOD=y，分别作∠AOB与∠COD的角平分线OE和OF，则∠EOF=度（用含x和y的代数式表示）.

如图（2），①若AC=BD=x，2CB=DA，则CB=(用含x的代数式表示)；

②若AC=BD=x，AD=y，分别作AB与CD的中点E和F，则EF=（用含x和y的代数式表示）.

此例中，射线OA，OB，OC，OD类似于点A，B，C，D，∠AOB，∠BOC，∠COD类似AB，BC，CD；可以互相置换，因此图形（1）和图形（2）的填空解答是一样的.

通过上面的分析我们不难看出，在数学的学习过程中，要充分利用数学知识点之间的类似之处，通过相互置换的方法来帮助我们解决数学问题，可以达到举一反三、事半功倍的效果.