Black-Scholes公式及其在欧式期权定价中的应用

周会会

【摘要】70年代初，Fisher Black和Myron Scholes取得了一个重大突破，推导出基于无红利支付股票的任何衍生证券的价格f必须满足的方程：筬箃+rS筬筍+12σ2S22f筍2=rf.他们运用该方程推导出股票的欧式看涨期权和看跌期权的价值.本文我们利用风险中性估值工具来证明Black睸choles公式及其在欧式期权定价中的应用.

【关键词】Black睸choles公式；风险中性；期权定价

一、Black睸choles微分方程的性质

筬箃+rS筬筍+12σ2S22f筍2=rf.

1蓖频

dS=μSdt+σSdBt，

df=筬筍μS+筬箃+12·2f筍2σ2S2dt+筬筍σSdBt.

因为股票价格和衍生证券价格都受同一种不确定性的影响，即股价变动，所以可以建立无风险证券组合.在无套利机会条件下，该证券组合的收益必定为无风险利率r.（因为如果建立了一种恰当的股票和衍生证券的投资组合，股票头寸的盈利（损失）总是会与衍生证券的损失（盈利）相抵消，因而在短时期内，证券组合的总价值就确定了.）

2毙灾

该方程不包含任何受投资者风险偏好影响的变量，只出现：股票价格S，时间t，股票价格方差σ，无风险利率r等变量，它们都独立于风险偏好.

如果方程中不存在风险偏好，那么风险偏好将不会对其解产生影响，因此，在对f进行定价时，我们可以使用任何一种风险偏好.特别地，我们可以提出一个非常简单的假设，即所有投资者都是风险中性的.在一个所有投资者都是风险中性的世界里，所有证券的预期收益率皆为无风险利率r，因而将其期望值用无风险利率贴现可获得任何现金流的现值.

二、欧式看涨期权的Black睸choles公式推导

dSt=μStdt+σStdBt.

风险溢价过程θ=μ-rσ，它对应的风险中性概率为Q，其中，dQdP=exp(θBt)=exp-θBt-12θ2t.

Bt=Bt+θt在测度Q下是一个布朗运动，

三、结论

本文在风险中性的假设下对Black睸choles公式进行了简单的证明，并给出了欧式看涨和看跌期权的定价公式.另外，利用风险中性估值工具，还可以对其他期权进行定价，如美式期权定价.

【参考文献】

［1］姜礼尚.期权定价的数学模型和方法［M］.北京:高等教育出版社，2004.

［2］约翰·赫尔.期权、期货及其他衍生证券［M］.张陶伟，译.北京:华夏出版社，1999.

［3］严士健，刘秀芳.测度与概率［M］.北京:北京师范大学出版社，2003.